帮我出一些考察排列组合的离散型随机变量的分布列的问题。

下面给你一组考察排列组合与离散型随机变量分布列的问题，适合高中/大学初级概率练习。每题都需要学生先用排列组合计数，再写出随机变量的分布列。

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题目 1：抽球问题

袋中有 4 个红球、3 个白球、2 个黑球，从中随机取出 3 个球，不放回。

设随机变量 $X$ 表示取出的红球个数。

求 $X$ 的分布列。

提示：

$$P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\binom{5}{3-k}}{\binom{9}{3}}$$

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题目 2：抽卡问题

一副扑克牌中只考虑 13 张黑桃牌，从中随机抽取 5 张。

设随机变量 $X$ 表示抽到的 A、K、Q、J 中的张数。

求 $X$ 的分布列。

提示：13 张中有 4 张特殊牌，9 张普通牌。

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题目 3：排队问题

5 名男生和 3 名女生随机排成一排。

设随机变量 $X$ 表示女生相邻的对数。

例如，若排列中出现两个女生挨在一起，则计为 1 对；若三个女生连续排列，则有 2 对。

求 $X$ 的分布列。

取值范围：

$$X=0,1,2$$

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题目 4：数字排列问题

用数字 $1,2,3,4,5$ 随机组成一个五位数，每个数字只能使用一次。

设随机变量 $X$ 表示这个五位数中偶数数字出现在偶数位上的个数。

求 $X$ 的分布列。

提示：偶数数字有 $2,4$，偶数位有第 2 位和第 4 位。

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题目 5：委员会问题

从 6 名男生和 4 名女生中随机选出 4 人组成委员会。

设随机变量 $X$ 表示委员会中女生的人数。

求 $X$ 的分布列。

答案形式可写为：

$$P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\binom{6}{4-k}}{\binom{10}{4}}$$

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题目 6：中奖号码问题

从数字 $1,2,3,4,5,6,7,8$ 中随机选出 3 个数字作为中奖号码。

小明事先猜了数字 $1,2,3$。

设随机变量 $X$ 表示小明猜中的数字个数。

求 $X$ 的分布列。

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题目 7：座位安排问题

4 名男生和 4 名女生随机坐成一排。

设随机变量 $X$ 表示坐在两端的女生人数。

求 $X$ 的分布列。

取值范围：

$$X=0,1,2$$

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题目 8：取数问题

从集合

$$\{1,2,3,4,5,6,7\}$$

中随机取出 3 个不同的数。

设随机变量 $X$ 表示取出的 3 个数中偶数的个数。

求 $X$ 的分布列。

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题目 9：分组问题

有 5 本不同的数学书和 4 本不同的英语书，从中随机选出 3 本书。

设随机变量 $X$ 表示选出的英语书本数。

求 $X$ 的分布列。

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题目 10：排列中的固定点问题

将数字 $1,2,3,4$ 随机排列成一列。

设随机变量 $X$ 表示数字恰好在原位置上的个数。

例如排列 $1,3,2,4$ 中，数字 1 和 4 在原位置上，所以 $X=2$。

求 $X$ 的分布列。

提示：注意 $X=3$ 不可能发生。

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参考答案简表

题 1

$$X=0,1,2,3$$ $$P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\binom{5}{3-k}}{\binom{9}{3}}$$

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题 5

$$X=0,1,2,3,4$$ $$P(X=k)=\frac{\binom{4}{k}\binom{6}{4-k}}{\binom{10}{4}}$$

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题 6

$$P(X=k)=\frac{\binom{3}{k}\binom{5}{3-k}}{\binom{8}{3}}, \quad k=0,1,2,3$$

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题 8

集合中有 3 个偶数、4 个奇数。

$$P(X=k)=\frac{\binom{3}{k}\binom{4}{3-k}}{\binom{7}{3}}, \quad k=0,1,2,3$$

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题 10

总排列数为：

$$4!=24$$

分布列为：

$$\begin{array}{c|ccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X) & \frac{9}{24} & \frac{8}{24} & \frac{6}{24} & 0 & \frac{1}{24} \end{array}$$

也就是：

$$\begin{array}{c|ccccc} X & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X) & \frac{3}{8} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{24} \end{array}$$