Отношение периметров и площадей

Рассматриваю фигуры

Я смотрю на вписанный в ромб прямоугольник, где стороны параллельны диагоналям ромба, и решаю, при каком отношении периметра прямоугольника к периметру ромба его площадь станет максимальной.

определяю параметры

Анализирую параметры квадрата и прямоугольника, задавая выражения для периметров и площадей, используя параметры. Максимизирую отношение площадей, чтобы найти нужное отношение периметров.

Размещаю ромб на координатной плоскости

Я выбираю координатные оси вдоль диагоналей ромба. Длинная диагональ идет по оси x, а короткая – по оси y. Вершины ромба определяются координатами, и я уже вижу, что в ромбе вписан прямоугольник.

Понимание углов

Окей, давайте разберемся: стороны ромба наклонены под углом 45 градусов к осям. А вот стороны прямоугольника параллельны осям x и y, и он находится внутри ромба.

Я описываю вершины и стороны ромба, используя координаты и уравнения, чтобы понять их взаимосвязь.

Определяю уравнения прямых

Исследую геометрию

Показываю, как описать отношения площадей и периметров прямоугольника, вписанного в ромб, используя параметры x1, x2, y1, y2.

Определяю пределы

Рассматриваю квадрат, центрированный в начале координат, и его стены: |x| ≤ x и |y| ≤ y. Теперь исследую точки пересечения линий ромба и границ квадрата.

Проверяю нахождение точки в ромбе.

Оцениваю скалывание поверхности

Уточняю условия

Я занимаюсь сужением условий, просмотривая, что y должно быть в пределах от 0.75(|x| - 2a) до -0.75|x| - 1.5a.

Ищу ограничения

Исследую верхний правый угол и сталкиваю ограничения для (x, y). Понимаю, что x = 0 можно обсудить.

Определяю допустимые значения

Первые два неравенства задают ограничения на y в зависимости от x. Функция y принимает значения от нуля до -0.75x + 1.5a, уменьшаясь от 1.5a до нуля.

Анализируя изменения

Анализируя, вижу, что для x между -2a и 0, y тоже меняется симметрично к предыдущему случаю.

Рассматриваю ограничения

Предполагаю, что верхний правый угол прямоугольника должен находиться на (x, y), где y = -0.75x + 1.5a, а верхний левый угол на (-x, y), где y = 0.75x + 1.5a.

Определяю пределы

Проверяю равенства функций в различных точках, чтобы понять, как далеко может уйти прямоугольник в этом контексте.

Ищу критические точки

Определяю точки, где читаются экстремумы (x = a) и (x = 2a), и замечаю, что максимум достигается при y = -0.75 x + 1.5a.

Присваиваем переменной x значение k a, где k меняется от 0 до 2.

Вычисляю параметры

Рассматриваю длину и ширину прямоугольника, используя уравнения y и x. Затем нахожу площадь и периметр прямоугольника, а также площадь и периметр ромба, вычисляя длину стороны ромба.

Рассматриваю ромб

Давайте посмотрим на ромб с равными сторонами и диагоналями 4a и 3a. Это наводит на мысль, что я размышляю о его свойствах, возможно, используя формулы для площадей и углов.

Вычисляю площадь

Для начала выражаю площадь площади прямоугольника и ромба, затем нахожу их отношение, упрощая выражение.

Исследую отношения

Рассматриваю отношение периметров, упрощая его до R_perimeter = (6 + k)/10, и ищу максимальное значение R_area.

Давайте разберём задачу по шагам.

1. Обозначим длины диагоналей ромба: Пусть диагонали ромба равны $D_1 = 4a$ и $D_2 = 3a$, где $a > 0$.

2. Расположим ромб на координатной плоскости:

   • Длинная диагональ $D_1$ лежит на оси $x$ от $(-2a, 0)$ до $(2a, 0)$.
   • Короткая диагональ $D_2$ лежит на оси $y$ от $(0, -1.5a)$ до $(0, 1.5a)$.

3. Определим стороны ромба: Стороны ромба имеют наклон $m = \pm0.75$, и их уравнения можно записать.

4. Рассмотрим прямоугольник, вписанный в ромб:

   • Прямоугольник центрирован в начале координат с вершинами $(\pm x, \pm y)$.
   • Его стороны параллельны осям координат.

5. Установим ограничения для $x$ и $y$:

   • Из уравнений сторон ромба выводим, что $y \leq -0.75x + 1.5a$.
   • Для симметрии и удобства вычислений вводим параметр $k$, такой что $x = ka$.

6. Выразим площадь и периметр прямоугольника:

   • Площадь: $S_{\text{прям}} = 4a^2k(1.5 - 0.75k)$.
   • Периметр: $P_{\text{прям}} = 4a(1.5 + 0.25k)$.

7. Вычислим площадь и периметр ромба:

   • Площадь: $S_{\text{ромб}} = 6a^2$.
   • Периметр: $P_{\text{ромб}} = 10a$.

8. Найдём отношение площадей и периметров:

   • Отношение площадей: $\frac{S_{\text{прям}}}{S_{\text{ромб}}} = k - 0.5k^2$.
   • Отношение периметров: $\frac{P_{\text{прям}}}{P_{\text{ромб}}} = \frac{6 + k}{10}$.

9. Определим значение $k$ для максимального отношения площадей:

   • Максимум функции $k - 0.5k^2$ достигается при $k = 1$.

10. Вычислим требуемое отношение периметров:

    • При $k = 1$, $\frac{P_{\text{прям}}}{P_{\text{ромб}}} = \frac{6 + 1}{10} = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\dfrac{7}{10}$