绝对一致收敛证明
创建于：2024年11月20日
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问题
5. 证明: 级数
$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}(1-x)$$
在 $[0,1]$ 上绝对且一致收敛。
当我做这道题的时候，我可不可以分成x属于[0,1/2][1/2,1]两个范围，分别证明在这两个范围内的时候，这个函数项级数是绝对且一致收敛的 。然后证明它在整个区间上就是绝对且一致收敛。我这种做法是有效的吗？
$$\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}(1-x)$$
在 $[0,1]$ 上绝对且一致收敛。
当我做这道题的时候，我可不可以分成x属于[0,1/2][1/2,1]两个范围，分别证明在这两个范围内的时候，这个函数项级数是绝对且一致收敛的 。然后证明它在整个区间上就是绝对且一致收敛。我这种做法是有效的吗？
思考
探索分段求解法
强调了分段证明绝对和一致收敛的方法，询问是否一定有效，考虑任何可能的限制因素。
考察级数区间
回答
是的，您的方法是有效的。
将区间 分成 和 两个子区间，分别证明在这两个子区间上级数绝对且一致收敛，然后得出它在整个区间上绝对且一致收敛，这是一个可行的方法。
具体来说，一致收敛的性质在区间的并上成立。如果一个函数序列在多个子区间上都一致收敛，那么它在这些子区间的并上也一致收敛。由于 是 和 的并，且它们覆盖了整个区间，所以您的方法是正确的。
在证明过程中，您可以针对每个子区间选择适当的收敛判别法，例如在 上可以使用比较判别法，而在 上可能需要使用另一些技巧。最终，结合这两个子区间的结果，就可以证明原级数在整个 上绝对且一致收敛。
因此，您的做法是合理且有效的。