Корни уравнения и функции

Betrachten Sie die Gleichung f(z)+g(z)=2x^2+5x+1, wobei f(z) sogar und g(z) ungerade sind. Finden Sie die Wurzel (oder Summe der Wurzeln) von f(x)=g(x).

Suche nach Lösungen

Ich bin dabei, die Wurzeln von f(x) = g(x) zu finden, wobei f(x) und g(x) durch f(z) + g(z) = 2x^2 + 5x + 1 gegeben sind. Da f gerade und g ungerade ist, denke ich darüber nach, wie ich f(x) und g(x) in Bezug auf x ausdrücken oder eliminieren kann.

Hier setze ich f(x) und g(x) gleich und ersetze x durch -x, um f(x) - g(x) = 2x^2 - 5x + 1 zu erhalten.

Zusammenfassen und lösen

Ich fasse die Gleichungen (1) und (2) zusammen, um f(x) und g(x) zu identifizieren. Interessanterweise kommt auf der rechten Seite eine quadratische Gleichung heraus.

Чтобы решить задачу, сначала обратим внимание на данные:

$f(z)$ — чётная функция, то есть $f(-x) = f(x)$ .
$g(x)$ — нечётная функция, то есть $g(-x) = -g(x)$ .
Выполняется равенство для всех действительных $x$ : $f(x) + g(x) = 2x^2 + 5x + 1.$

Теперь заменим $x$ на $-x$ в данном равенстве:

f(-x) + g(-x) = 2(-x)^2 + 5(-x) + 1.

С учётом свойств чётной и нечётной функций получаем:

f(x) - g(x) = 2x^2 - 5x + 1.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\begin{cases} f(x) + g(x) = 2x^2 + 5x + 1, \\ f(x) - g(x) = 2x^2 - 5x + 1. \end{cases}

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $f(x)$ :

2f(x) = 4x^2 + 2 \implies f(x) = 2x^2 + 1.

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $g(x)$ :

2g(x) = 10x \implies g(x) = 5x.

Теперь решаем уравнение $f(x) = g(x)$ :

2x^2 + 1 = 5x \implies 2x^2 - 5x + 1 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем корни:

x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}.

Сумма корней:

x_1 + x_2 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4} + \frac{5 - \sqrt{17}}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}.

Ответ: $\displaystyle \frac{5}{2}$

Корни уравнения и функции

问题

思考

回答

分享这个问答