Python DP 玩具购买问题

问题

创建一个python代码，用dp算法,要求时间复杂度为logn 。小明共收到了 m 元压岁钱。商店里有10^9种玩具，种类编号为1~10^9，第i种玩具的价格为i元。但是小明已经有了其中n种玩具了，他不喜欢重复，所以每种玩具他最多只想拥有一个，已经有的就不会再买了，没有的也只会买最多一个。
现在小明想知道他最多能再买多少种玩具。
输入：第一行两个整数 n,m，表示已有玩具的种类数和压岁钱数量。
接下来一行n个整数a1,a2,.…an，表示小R拥有的所有玩具的编号。
对于所有数据，2<=n<=100000,1<=ai,m<=10^9,保证ai互不相同。
输出：输出一个整数表示小明最多能再买多少种玩具

思考

购物问题解析

选择玩具

考虑玩具价格等于ID，限制不买已有玩具。目标是用m元购买最多新玩具，可能涉及双指针或二分查找算法。

确定目标

我在分析如何在有限预算下最大化购买新的玩具，首先确定了现有的玩具列表和预算。然后，我将目标设定为找到最多的新玩具，使其价格总和不超过预算。

计算价格总和
思考如何选择新的玩具ID，提出从1开始依次检查，直到总和超过m为止。

寻找最优解

我正在寻找一个方法来确定能买到的最多数量的玩具。通过迭代未持有的ID，直到总和超过m，但避免遍历到1e9。考察从1到1e9中未在'owned'列表中的ID。

排序和处理

首先，我会对拥有的ID列表进行排序。然后，从1开始逐个处理，计算从上一个到当前拥有的ID之间的缺失ID数量。

计算缺失ID

我在计算空白ID的数量时，分别考虑了属于每个间隔内的ID数量，总和可能会很大，因此我计划通过计算不拥有ID的前k个自然数的和，直到累计和小于等于m。

寻找最小ID

确定一个函数来计算未拥有的ID到某个限制的总和，从而找到最小的ID集合，使得它们的总和不超过m。

总结遗漏身份信息

我正在计算拥有的ID之间遗漏的ID的数量和和，然后尝试找到最大数量的遗漏ID，确保它们的总和不超过m。

计算费用和缺失

我正在计算所需费用和缺失的玩具ID范围。确保总费用不超过给定预算m。

计算选择数量

我在每个间隙中计算ID的总和，然后通过二进制搜索确定可以选择的最大ID数量，确保总成本加上中间ID和仍不超过m。

编写代码进行计算

我正在写代码来计算每个间隙的14，考虑到间隙数量和每个间隙大小。这让我想到了优化时间复杂性的可能性。

找最大K值

设定总成本和总玩具数，找到最多可以购买的玩具数量。使用二维动态规划，并考虑最优组合选择，确保不超过预算。

仔细计算和优化排序

我在编纂算法时，确保使用64位整数以处理整数溢出。而且，时间复杂度是O(n * log N)，符合要求。

排序与初始化

我正在对拥有的ID列表进行排序，初始化总成本和总玩具数，然后逐个ID 进行处理，计算每个间隙的最大k值，并通过二分法找到满足条件的最大k，更新总玩具数和总成本。

寻求更高利润的库存

我正在评估库存的情况，并寻找可能的利润增长点。这个旅程让我充满了动力和好奇心。

整理并计算

回答

下面是满足要求的Python代码，使用二分查找算法，时间复杂度为O(n log N)，其中n是已有玩具的数量，N是玩具编号的最大值（10^9）。

n, m = map(int, input().split())
owned = list(map(int, input().split()))
owned.sort()

def compute_sum_k(s, k):
    return k * s + k * (k - 1) // 2

def max_toys_in_gap(s, gap_size, total_cost, m):
    left = 0
    right = gap_size
    while left < right:
        mid = (left + right + 1) // 2
        sum_k = mid * s + mid * (mid - 1) // 2
        if total_cost + sum_k <= m:
            left = mid
        else:
            right = mid - 1
    return left

total_toys = 0
total_cost = 0
prev_owned = 0
N = 10**9

for curr_owned in owned + [N + 1]:
    s = prev_owned + 1
    e = min(curr_owned - 1, N)
    gap_size = e - s + 1
    if gap_size <= 0 or total_cost >= m:
        prev_owned = curr_owned
        continue
    k = max_toys_in_gap(s, gap_size, total_cost, m)
    if k > 0:
        total_toys += k
        total_cost += compute_sum_k(s, k)
    prev_owned = curr_owned

print(total_toys)

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