切超平面方程求解

求解切平面方程

首先，思考将标量函数 f(x,y,z) 在点 (a,b,c) 处的切平面方程，还有 ∇f(a,b,c) 是与该点切平面垂直的。

为函数求平面

我正在考虑如何找到函数 $f(x,y,z) = xyz + x^2$ 在点 $(a,b,c,f(a,b,c))$ 的切平面。

确定切平面

我在确定函数 f(x,y,z) = xyz + x^2 在点 (a,b,c) 处的切平面方程，采用了梯度和偏导数。

解析方程

我正在计算偏导数，首先是 f(a,b,c) 在 (2,0,-3) 的值为 4。接着，计算 f_x, f_y 和 f_z 的值。

计算偏导并确定

我计算了f_x、f_y和f_z在点(2,0,-3)处的值。然后，我用这些值来建立切平面的方程，结果得到了w = 4x - 6y - 4。这个平面不包含z。

解释函数依赖

我在考虑偏导数为零的情况时，得出w仅依赖于x和y的线性近似为4x - 6y - 4。

解答：

我们需要求函数 $f(x, y, z) = xyz + x^2$ 在点 $(2, 0, -3)$ 处的切超平面的方程。步骤如下：

1. 计算函数在该点的函数值：

$$f(2, 0, -3) = (2)(0)(-3) + (2)^2 = 0 + 4 = 4$$

2. 计算函数的偏导数：

• 对 $x$ 求偏导： $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = yz + 2x$$
• 对 $y$ 求偏导： $$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = xz$$
• 对 $z$ 求偏导： $$f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = xy$$

3. 在点 $(2, 0, -3)$ 处计算偏导数的值：

• $f_x(2, 0, -3) = (0)(-3) + 2 \times 2 = 0 + 4 = 4$
• $f_y(2, 0, -3) = 2 \times (-3) = -6$
• $f_z(2, 0, -3) = 2 \times 0 = 0$

4. 写出切超平面的方程（线性近似）：

$$w = f(2, 0, -3) + f_x(2, 0, -3)(x - 2) + f_y(2, 0, -3)(y - 0) + f_z(2, 0, -3)(z + 3)$$

5. 简化方程：

$$\begin{align*} w &= 4 + 4(x - 2) -6(y - 0) + 0(z + 3) \\ &= 4 + 4x - 8 - 6y \\ &= 4x - 6y - 4 \end{align*}$$

因此，所求的切超平面的方程为：

$$w = 4x - 6y - 4$$