征服城市的胜利策略

确定起始城市

谜题挑战在于，选择一个城市作为起始点，依次征服相邻城市，确保征服每个城市的时间在给定的时间截止前完成。

确定获胜的起始城市

在时间步d(1≤d≤n)时，我们要找到可以确保在时间a_i成功征服第i座城池的起始城市数量。

制定策略

我正在设计一个策略，确保我们能在规定时间内占领城市 i。现在需要计算可以做到这种事的起始城市数量。

选择起始城市

我们正在选择一个起始城市s，然后按时征服相邻城市，确保所有城市都在规定时间a_i之前征服。目的是找出可行的起始城市数量。

优化攻城时机

我正在寻找一种算法来确定每个起始城市能否按时达成任务，同时考虑城市之间的相邻性和扩展方向。

评估城市征服时间

在设定的时间点，考虑从起始城市到各个城市的征服时间，确保每个城市在可以征服之前被占领。

慎重规划时间表

我在考虑如何通过选择以邻国为中心的城市，来规划共和国的时间表。这样可以确保拥城市。不过，我们也需要慎重安排，以确保获得最好的结果。

优先攻占城市

我在思考如何安排征服计划，集中精力优先攻占最紧迫的城市。通过分析扩展前进至城市i所需的步数d_i，我们可以确定最晚可以达到的时间。

规划城市征服

嗯，我在设定每座城市的最早征服时间 t_min_i 和最新可征服时间之间的伙伴关系。这让我想到一个方法开始，扩展领土到邻近城市。

确定城市的位置

在t=2时，每次我们只能占领一个城市，且边界向左或向右扩展一单位的领土。目标是确定扩展方向，以确保按时到达所有所需城市。

制定扩展计划

我正在策划领土扩展方案，旨在按时覆盖每个城市。考量向左或向右扩展，每次单位变化。

决定扩展方向

我在考虑从城市s出发，通过左或右的扩展方式，决定覆盖每座城市i的顺序和时间。这让我对方案的步骤有了更清晰的认知。

细化扩展计划

我正在制定一个具体的扩展计划，确保每个城市i在时间t≤a_i时被包含在内。这样做是为了有效地规划这些城市的覆盖时间。

规划移动距离

我们正在规划左移和右移的增量，以确保到达截止时间所需的总移动为t-1。左移和右移的总和始终等于t-1，右移都是向右移动，直到t=1。

深入探讨城市覆盖时间

在研究如何覆盖所有城市时，我发现在每个城市i之前或之后，可以用平衡左移和右移来满足限制条件。

分析城市需求

我在计算各城市的左移和右移需求时，发现左移和右移随时间增长。考虑到每个城市的限制和时间依赖性。

分配移动

我在思考如何均衡分配总移动次数，使每个城市的左右移动达到期限要求。

定义必要操作

我正在定义必要的左移和右移操作，以及所需的操作时间。这样做是为了确保能够覆盖所有城市。

分析不同策略

我在思考如何分配总移动次数，以确保至少达到每个城市的最大需求。这也让我意识到，每个城市的最后期限对最终策略的影响。

理清思路

我们可以从最早达到城市i的时间开始，计算t_i = |s - i| + 1。这是最早的时间，超过这个时间我们才能到达。

研究城市时间

我在思考从起点s出发，右侧城市i是否能在期限a_i内到达。每个城市i的时间t_i = |s - i| + 1。

探讨调整扩展

我正在考虑如何调整扩展，以确保按时达到每个城市i。我们可以定义每个城市i的最晚到达时间，并可以从s开始贪心地扩展。

将城市列表转换为时间和截止日期的数组，安排扩展方向。

安排扩展次数

我在安排左侧和右侧城市的扩展次数，确保它们在截止日期前能够顺利到达。这个计划涵盖了每个城市到达所需的扩展步骤。

分析城市移动需求

我正在研究城市左移和右移的需求，并制定时间表，确保按时完成这些任务。这样做是为了确保每个城市按时向左或向右移动。

规划移动步骤

我正在计算向左和向右移动的总步数，制定一个基于截止日期的调度计划，确保所有移动按时完成。

安排任务顺序

我们正在组织一个时间任务调度问题，每个任务的处理时间为1单位时间，目标是确保所有任务按时完成。这如同精确规划行驶路线以在关键时间点到达所需地点。

安排任务

我在思考，我们可以将所有必要的左移和右移任务汇总成列表，并通过最早到期时间的顺序来安排任务，确保所有任务按时完成。

计划任务

我在安排左移和右移时，想从最早的截止时间开始。有些任务可能有相似的截止时间。这让我意识到一个更精确的模型需求。

研究变化趋势

定义t时的累计所需向左移动次数和向右移动次数，思考是否满足条件。

制定调度计划

我正在考虑单机调度问题，将任务按最早截止期排序，验证各时刻任务数量是否超过t。这样可以确保所有任务按时完成。

安排任务时间

如果任务总数超过截止时间t，则无法全部完成。我们可以将每个向左和向右移动的任务视为一个有截止时间的任务进行安排。这样做可以更有效地安排任务的时间。

任务调度

为了安排每个城市的必需移动次数和截止时间，我创建了相应的任务。然后，我按截止时间排序，选取最早截止时间的任务进行调度。

生成任务并排序

我正在生成每个城市的任务，并按截止日期排序。接着，我计算每个时间点的累计必需任务。

计算累计任务量
我在想，构建一个数组cnt[t]来表示每个时间点t的任务数，然后计算积累的任务量C[t]。如果C[t]超过t - 1，那么排程所有任务将不可行。

规划路线

我在设计算法，用不同的起始城市生成任务，考察任务可行性。如果满足条件，就记录起始城市来安排任务。这种方法可以帮助我们梳理出最佳起始城市。

探索不同方式

查找受限制城市

我正在尝试弄清正确的开始城市s，通过找到一个城市i，使得最早可到达时间t_i = |s - i| + 1 > a_i，来确认是否有其他城市可以满足截止日期。

确定起始位置

我在想，为每个s检查所有i时，是否|s - i| + 1 ≤ a_i。这个条件是赢得比赛的关键。

确定可接受位置

我正在找出对每个城市i，可接受的起始位置s的范围。这个范围是基于s与i的差的绝对值加1小于等于a_i。

找出可信起始位置

首先，计算每个城市的区间S_i = [L_i, R_i]，然后求出所有区间的交集，其中L_max = max(L_i)，R_min = min(R_i)。最后，计算交集内满足条件的整数个数。

To solve this problem efficiently, we need to determine the number of starting cities $s$ (from $1$ to $n$) such that it's possible to conquer all cities by their deadlines $a_i$.

Key Observations:

1. Earliest Time to Conquer a City:

   • The earliest time to reach city $i$ from starting city $s$ is $t_i = |s - i| + 1$.
   • This is because we can only move to adjacent cities, conquering one city per time unit.

2. Necessary Condition for Winning:

   • For starting city $s$ to be acceptable, it must satisfy $|s - i| + 1 \leq a_i$ for all cities $i$.
   • This means that the earliest possible time to reach city $i$ must be on or before its deadline $a_i$.

3. Acceptable Starting Positions for Each City:

   • For each city $i$, the acceptable starting positions $s$ form an interval: $s \in [i - (a_i - 1), i + (a_i - 1)]$ Adjusted to stay within the bounds $[1, n]$: $L_i = \max(1, i - (a_i - 1)), \quad R_i = \min(n, i + (a_i - 1))$

4. Overall Acceptable Starting Positions:

   • The acceptable starting positions are the intersection of all individual intervals $[L_i, R_i]$.
   • The intersection interval is $[L_{\text{max}}, R_{\text{min}}]$: $L_{\text{max}} = \max_{i} L_i, \quad R_{\text{min}} = \min_{i} R_i$
   • The number of acceptable starting positions is $R_{\text{min}} - L_{\text{max}} + 1$, provided $L_{\text{max}} \leq R_{\text{min}}$.

Algorithm Steps:

1. Initialize $L_{\text{max}} = 1$ and $R_{\text{min}} = n$.

2. For each city $i$ from $1$ to $n$:

   • Compute $L_i = \max(1, i - (a_i - 1))$.
   • Compute $R_i = \min(n, i + (a_i - 1))$.
   • Update $L_{\text{max}} = \max(L_{\text{max}}, L_i)$.
   • Update $R_{\text{min}} = \min(R_{\text{min}}, R_i)$.

3. After processing all cities:

   • If $L_{\text{max}} > R_{\text{min}}$, there are no acceptable starting positions (answer is $0$).
   • Otherwise, the number of acceptable starting positions is $R_{\text{min}} - L_{\text{max}} + 1$.

Time Complexity:

• The algorithm runs in $O(n)$ time, as it processes each city once.

Answer:

An $O(n)$ algorithm: Count integers in the interval where all [ i – (aᵢ–1), i + (aᵢ–1) ] overlap; that is, the number of s with max₍ᵢ₎[i – (aᵢ–1)] ≤ s ≤ min₍ᵢ₎[i + (aᵢ–1)]