积分计算步骤

拆解积分

我正在分解 sin²θ 的积分步骤。首先，使用幂还原公式将其转化为更简单的形式。然后，计算并从 0 到 π 逐步求解。最终，我得到了 π/2。

要计算定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta$，可以按照以下步骤进行：

步骤 1：使用二倍角公式简化被积函数

首先，利用二倍角公式将 $\sin^2(\theta)$ 转化为更易于积分的形式。二倍角公式为：

$$\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$

因此，原积分可以改写为：

$$\int_{0}^{\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \left(1 - \cos(2\theta)\right) \, d\theta$$

步骤 2：拆分积分并分别计算

将积分拆分成两个部分：

$$\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} 1 \, d\theta - \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(2\theta) \, d\theta$$

分别计算这两个积分。

1. 计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} 1 \, d\theta$：

$$\int_{0}^{\pi} 1 \, d\theta = \theta \Big|_{0}^{\pi} = \pi - 0 = \pi$$

2. 计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos(2\theta) \, d\theta$：

$$\int_{0}^{\pi} \cos(2\theta) \, d\theta = \frac{1}{2} \sin(2\theta) \Big|_{0}^{\pi} = \frac{1}{2} \left( \sin(2\pi) - \sin(0) \right) = \frac{1}{2} (0 - 0) = 0$$

步骤 3：综合结果

将两个部分的结果代入原表达式：

$$\frac{1}{2} \times \pi - \frac{1}{2} \times 0 = \frac{\pi}{2}$$

结论

因此，定积分的值为：

$$\int_{0}^{\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta = \frac{\pi}{2}$$