积分计算与结果
创建于:2024年9月27日
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问题
∫₀^π sin²(θ) dθ ∫₋π/₂^π/₂ cos(φ) dφ这个积分等于多少
回答
要计算双重积分:
∫0πsin2(θ)dθ∫−2π2πcos(ϕ)dϕ我们可以分步进行计算。
1. 计算内层积分
先计算关于 ϕ 的积分:
∫−2π2πcos(ϕ)dϕ这个积分的结果是:
[sin(ϕ)]−2π2π=sin(2π)−sin(−2π)=1−(−1)=22. 计算外层积分
接下来计算关于 θ 的积分:
∫0πsin2(θ)dθ利用三角函数的积分公式:
∫sin2(θ)dθ=2θ−4sin(2θ)+C所以:
∫0πsin2(θ)dθ=[2θ−4sin(2θ)]0π=(2π−0)−(0−0)=2π3. 综合结果
将两部分结果相乘:
2π×2=π因此,原积分的值为 π。
答案: 积分的值是 π。