求解多項式系數

解決課題的探索

在解這個多項式的問題時，我們需要找到讓多項式 6x³ + a x² + b x + 6 同時被 x - 3 和 2x - 1 整除的 a 和 b 值。這意味著 P(3) = 0 和 P(1/2) = 0。

要解方程式 $6x^3 + ax^2 + bx + 6$ 是 $x - 3$ 和 $2x - 1$ 的倍式（即因式），我們需要利用因式定理來求解未知數 $a$ 和 $b$。

步驟 1：應用因式定理

根據因式定理，如果 $x - c$ 是多項式的因式，則 $P(c) = 0$。

因此：

1. $x - 3$ 是因式，則 $P(3) = 0$。
2. $2x - 1$ 是因式，則 $P\left(\frac{1}{2}\right) = 0$。

步驟 2：設立方程式

計算 $P(3)$：

所以第一個方程式為：

計算 $P\left(\frac{1}{2}\right)$：

為了簡化計算，將此方程式乘以 4：

步驟 3：解聯立方程式

從方程式 (2) 得到：

將 $a = -27 - 2b$ 代入方程式 (1)：

展開計算：

再將 $b = -5$ 代入 $a = -27 - 2b$：

結論

解得：

解決問題的方法

我在考慮不同的解法，避免使用國中生不熟悉的因式定理。思考多項式除法或等式系數方法，這會更易懂。這些是我正在考慮的選項。

了解了，既然國中沒學因式定理，我們可以用「展開多項式並比對係數」的方法來解這題。以下是步驟：

題目回顧

我們有多項式： $6x^3 + ax^2 + bx + 6$ 並且已知它有兩個因式： $x - 3 \quad \text{和} \quad 2x - 1$

步驟 1：假設多項式的第三個因式

由於多項式是三次的，我們可以假設第三個因式為 $cx + d$。因此，多項式可以寫成： $(x - 3)(2x - 1)(cx + d)$

步驟 2：展開因式

先展開前兩個因式：

現在，我們有：

接下來展開這兩個因式：

步驟 3：比對係數

原多項式為：

展開後的多項式為：

將兩者的係數逐項比對：

1. $x^3$ 項：

2. $x^2$ 項：

已知 $c = 3$，代入：

3. $x$ 項：

已知 $c = 3$，代入：

4. 常數項：

步驟 4：求 $a$ 和 $b$

已知 $d = 2$，代入方程式 1 和 2：

1. 求 $a$：

2. 求 $b$：

最終答案

探討因素

助手目前著眼於解決6x^3 + ax^2 + bx + 6多項式的常數a和b。在這過程中，她假設第三個因子是cx+d，並推導出a和b的值。現在，她正在解釋為什麼選擇這個因子。

确定第三因子的选择

我正在查明选择(x + m)作为第三因子是否合适。计算后发现，2x^3与6x^3不匹配，说明选择(x + m)不是最佳选择。

抱歉讓你感到困惑。讓我們來詳細解釋為什麼在這個問題中，我們選擇設 $(cx + d)$ 而不是 $(x + m)$。

問題回顧

我們有一個多項式： $6x^3 + ax^2 + bx + 6$ 已知它有兩個因式： $x - 3 \quad \text{和} \quad 2x - 1$

我們需要找到這個多項式的第三個因式，從而確定 $a$ 和 $b$ 的值。

為什麼選擇 $(cx + d)$ 而不是 $(x + m)$

1. 多項式的次數和係數匹配：

   原多項式是三次的，且最高次項的係數是 $6$。當我們知道兩個因式是 $x - 3$ 和 $2x - 1$ 時，我們需要找到第三個一次因式來完整分解這個三次多項式。

   如果我們假設第三個因式是 $(x + m)$，那麼三個因式相乘的最高次項係數會是：

   $$(x)(2x)(x) = 2x^3$$

   這與原多項式的最高次項係數 $6x^3$ 不符（因為 $2 \neq 6$）。

   為了使最高次項的係數匹配，我們需要調整第三個因式的係數。這就是為什麼我們選擇設 $(cx + d)$ 而不是 $(x + m)$。

2. 確保多項式的整體係數匹配：

   假設第三個因式是 $(cx + d)$，那麼三個因式相乘的最高次項係數會是：

   $$(x)(2x)(cx) = 2c x^3$$

   為了使這個係數等於 $6x^3$，我們需要：

   $$2c = 6 \implies c = 3$$

   因此，第三個因式應該是 $(3x + d)$。

3. 完整的分解過程：

   知道第三個因式的形式後，我們可以進行完整的分解並比對係數來求解 $a$ 和 $b$。

   具體步驟如下：

   • 假設第三個因式為 $(3x + d)$：

     $$(x - 3)(2x - 1)(3x + d)$$

   • 先展開前兩個因式：

     $$(x - 3)(2x - 1) = 2x^2 - 7x + 3$$

   • 再與第三個因式相乘：

     $$(2x^2 - 7x + 3)(3x + d) = 6x^3 + (2d - 21)x^2 + (-7d + 9)x + 3d$$

   • 將展開後的多項式與原多項式 $6x^3 + ax^2 + bx + 6$ 比較：

     $$6x^3 + (2d - 21)x^2 + (-7d + 9)x + 3d = 6x^3 + ax^2 + bx + 6$$

     從而得到方程式：

     $$2d - 21 = a \quad \text{(1)}$$ $$-7d + 9 = b \quad \text{(2)}$$ $$3d = 6 \quad \text{(3)}$$

   • 解方程式 (3)：

     $$3d = 6 \implies d = 2$$

   • 代入 $d = 2$ 求 $a$ 和 $b$：

     $$a = 2 \times 2 - 21 = -17$$ $$b = -7 \times 2 + 9 = -5$$

總結

因為原多項式的最高次項係數是 $6$，而已知兩個因式的乘積導致最高次項係數為 $2c$，為了使其等於 $6$，我們必須設第三個因式為 $(cx + d)$，而不是僅僅 $(x + m)$。這樣才能確保整個多項式的係數正確匹配。

最終，我們得到：

动用新技巧
我在尝试新的方法解决多项式因式分解，用展开和系数比较替代因式定理，帮助找到a和b的值。

构建方程

我在探索如何解求 a 和 b，给定 x - 3 和 2x - 1 是因数。考虑利用插值法或方程组解法来简化这个过程。

解释和设置方程

如果用户还没有学习函数，助手需要更具体地解释这个概念，比如指导用户通过将 x=3 和 x=1/2 代入多项式中，设置方程并求解 a 和 b 的值。

了解，我們可以用更簡單的方法來解這題，不需要使用因式定理或函數的知識。這裡我們可以利用「代入法」來找出未知數 $a$ 和 $b$ 的值。

題目回顧

我們有一個三次多項式： $6x^3 + ax^2 + bx + 6$ 已知這個多項式可以被 $x - 3$ 和 $2x - 1$ 整除（即這兩個因式）。

基本概念

如果一個多項式 $P(x)$ 可以被 $x - c$ 整除，這意味著當 $x = c$ 時，$P(c) = 0$。這是因為 $x - c$ 是 $P(x)$ 的一個因式。

步驟 1：利用 $x - 3$ 是因式

由於 $x - 3$ 是多項式的因式，當 $x = 3$ 時，多項式的值為零。所以我們可以代入 $x = 3$ 來得到一個方程式。

代入 $x = 3$：

計算：

步驟 2：利用 $2x - 1$ 是因式

首先，我們需要找到使 $2x - 1 = 0$ 的 $x$ 值。

解 $2x - 1 = 0$：

所以，當 $x = \frac{1}{2}$ 時，多項式的值也為零。

代入 $x = \frac{1}{2}$：

計算：

為了消除小數，我們將整個方程式乘以 4：

步驟 3：解聯立方程式

我們現在有兩個方程式：

1. $168 + 9a + 3b = 0$ （方程式 1）
2. $27 + a + 2b = 0$ （方程式 2）

我們可以用代入法來解這兩個方程式。

從方程式 2 解出 $a$：

將 $a = -27 - 2b$ 代入方程式 1：

再將 $b = -5$ 代入 $a = -27 - 2b$：

最終答案

總結

1. 利用已知因式 $x - 3$ 和 $2x - 1$，找出 $x$ 的值（分別是 $3$ 和 $\frac{1}{2}$），並代入多項式得到方程式。
2. 解這兩個方程式，找出未知數 $a$ 和 $b$ 的值。

這樣的方法不需要使用因式定理或函數的概念，只需要基本的代數代入和解方程式的步驟即可完成。

提出问题

用户提出一个三次多项式的问题，涉及三次项、二次项、一项和常数项。这说明计算和分解的复杂性。

理解并解释

我正在设立方程来找出根的系数，这比尝试直接乘以给定的因素更有效。这样解释更简单。

解啟方程

我正在解這個方程，首先訂入 x=3 得到第一個方程，然後再用 x=1/2 得到第二個方程。這樣我可以進一步解決 a 和 b 的值。

抱歉之前的解釋讓你感到複雜，我們可以用更簡單的方法來解這個問題。以下是步驟：

題目回顧

我們有一個三次多項式： $6x^3 + ax^2 + bx + 6$ 已知這個多項式可以被 $x - 3$ 和 $2x - 1$ 整除。目標是找出 $a$ 和 $b$ 的值。

基本概念

如果多項式 $P(x)$ 可以被 $x - c$ 整除，則當 $x = c$ 時，$P(c) = 0$。這稱為因式定理。雖然你提到還沒學因式定理，但我們可以簡單理解為「當我們把 $x$ 代入特定值時，整個多項式等於零」。

步驟 1：利用 $x - 3$ 是因式

由於 $x - 3$ 是因式，當 $x = 3$ 時，多項式的值為零。

代入 $x = 3$：

計算：

步驟 2：利用 $2x - 1$ 是因式

首先，找到使 $2x - 1 = 0$ 的 $x$ 值：

所以，當 $x = \frac{1}{2}$ 時，多項式的值也為零。

代入 $x = \frac{1}{2}$：

計算：

為了簡化計算，我們將整個方程式乘以 4：

步驟 3：解聯立方程式

我們現在有兩個方程式：

1. $168 + 9a + 3b = 0$ （方程式 1）
2. $27 + a + 2b = 0$ （方程式 2）

從方程式 2 解出 $a$：

將 $a = -27 - 2b$ 代入方程式 1：

再將 $b = -5$ 代入 $a = -27 - 2b$：

最終答案

總結

1. 代入已知的 $x$ 值：利用 $x - 3$ 和 $2x - 1$ 的根 $x = 3$ 和 $x = \frac{1}{2}$，分別代入多項式得到兩個方程式。
2. 解聯立方程式：通過簡單的代入法，求出未知數 $a$ 和 $b$ 的值。

這種方法不需要複雜的因式定理或函數知識，只需基本的代入和解方程式的步驟即可完成。