함수 개수 구하기

問題

집합 X={-3,0,3}에 대하여 X에서 X로의 함수중 f(x)-f(-x)=0을 만족시키는 함수의 개수를 구하시오

思考

함수 정의 및 선택지

함수 f를 정의하고, f(x) = f(-x)라는 조건을 만족하는 여러 선택지를 사요한 중.

回答

주어진 집합 $X = \{-3, 0, 3\}$ 에 대해 함수 $f: X \rightarrow X$ 가 $f(x) = f(-x)$ 을 만족해야 합니다. 이를 만족하는 함수의 개수를 구해보겠습니다.

조건 분석

대칭 조건: $f(-3) = f(3)$
독립적인 값: $f(0)$ 과 $f(3)$ (또는 $f(-3)$ )을 선택하면 나머지 값은 자동으로 정해집니다.

함수의 정의

함수 $f$ 는 다음과 같이 정의됩니다:

$f(-3) = f(3)$ : 이 값은 집합 $X$ 의 원소 중 하나인 $-3$ , $0$ , $3$ 중에서 선택됩니다. 따라서 3가지 선택지가 있습니다.
$f(0)$ : 이 값 또한 집합 $X$ 의 원소 중 하나를 선택하므로 3가지 선택지가 있습니다.

경우의 수 계산

$f(3)$ (또는 $f(-3)$ )을 선택하는 경우의 수: 3가지
$f(0)$ 을 선택하는 경우의 수: 3가지

따라서 총 가능한 함수의 개수는:

3 \times 3 = 9

결론

조건을 만족하는 함수는 총 9개 존재합니다.

답: 9

問題

f(3)=3
f(-3)=0
f(0)=-3
이렇게 되는 경우는 없는거야? 왜 9개야?

思考

조건 찾기

함수 f(x) = f(-x) 조건을 충족하는 함수의 총 개수는 9개라는 결론에 도달하고 있어요.

조건 해석하기

함수 f(x) - f(-x) = 0을 만족하는 함수의 개수를 찾고 있어. f(x) = f(-x) 조건을 확인하며, f(3)=3, f(-3)=0, f(0)=-3의 경우가 예제에서 올바르지 않음을 이해하고 있어.

回答

사용자가 제시한 함수:

$f(3) = 3$
$f(-3) = 0$
$f(0) = -3$

이 함수는 조건 $f(x) - f(-x) = 0$ 을 만족하지 않습니다. 왜냐하면, 예를 들어 $x = 3$ 일 때:

f(3) - f(-3) = 3 - 0 = 3 \neq 0

따라서 이 함수는 조건을 만족하지 않으며, 따라서 조건을 만족하는 함수의 개수에 포함되지 않습니다.

조건 재확인

주어진 조건은 모든 $x \in X$ 에 대해 $f(x) = f(-x)$ 을 만족해야 합니다. 즉, 함수 $f$ 는 다음과 같은 특성을 가져야 합니다:

$f(3) = f(-3)$
$f(0) = f(0)$ (자기 자신과 같아야 하므로, 사실상 아무 제약이 없습니다.)

가능한 함수의 개수 계산

쌍 $(3, -3)$ 에 대한 선택:
- $f(3) = f(-3)$ 은 $X$ 의 원소인 $-3$ , $0$ , $3$ 중 하나를 선택할 수 있습니다.
- 따라서 3가지 선택지가 있습니다.
$f(0)$ 에 대한 선택:
- $f(0)$ 역시 $X$ 의 원소 중 하나를 선택할 수 있습니다.
- 따라서 3가지 선택지가 있습니다.

총 경우의 수

$f(3) = f(-3)$ 선택: 3가지
$f(0)$ 선택: 3가지