電偶極電場計算

探讨电场依赖关系

我正在考虑电偶极在远离原点处的电场。通过分析电场方向和距离的关系，我得出电场强度与距离的三次方成反比。

電偶極在遠場（即 $r \gg x$）的電場隨距離 $r$ 的變化可以通過電偶極場的公式來描述。對於沿著電偶極方向（在此例中為 $x$-軸）的點，電場 $E$ 的表達式為：

其中 $p$ 是電偶極矩，$\epsilon_0$ 是真空的電常數。因此，電場 $E$ 與距離 $r$ 的三次方成反比，即：

這表明在遠場條件下，電偶極產生的電場強度隨距離的增加而以 $\frac{1}{r^3}$ 的速率減小。

因此，正確的選項是：

(C) $E_O \propto \frac{1}{r^3}$

Answer:
(C) $E_O \propto \frac{1}{r^3}$

比较两个函数

我正在比较两个函数，f(x)和g(x)，以揭示它们之间的共性。我定义h(x) = f(x) - g(x)，并试图证明在区间(2,3)内h(x) = 0有解。

寻找根的区间

我在考虑三根实数根的位置，使用中值定理检查函数h(x)=2x^3 -9x -6在2和3之间有根。这帮助我确定了根的区间。

寻找根数

我正在寻找2x^3 - 9x - 6 = 0的根，测试了所有可能的有理数根，没有找到。然后，通过观察h(x)在整数附近的符号变化，粗略估计了根的大致范围。

了解函数行为
我计算了h(x)在整数x处的值，并注意到了函数在不同区间之间的根。比如，在区间(-2,-1)和(2,3)之间有根。

确定整数区间

题目提到三个根分别位于特定的两个相邻整数之间。通过检验 f(x) 和 g(x) 的值，确认每个根的位置。

(1) 證明在 2 與 3 之間至少存在一實數 $c$ 使得 $f(c) = g(c)$

我們需要證明函數 $f(x) = 2x^3 + x^2 - 8x - 8$ 和 $g(x) = x^2 + x - 2$ 在區間 $(2, 3)$ 內有相交點，即存在 $c \in (2, 3)$ 使得 $f(c) = g(c)$。

首先，考慮 $f(x) - g(x)$：

我們需要證明 $h(x) = 0$ 在 $(2, 3)$ 內有解。根據中值定理（Intermediate Value Theorem），只需檢查 $h(x)$ 在 $x = 2$ 和 $x = 3$ 的符號是否改變。

計算：

由於 $h(2) < 0$ 且 $h(3) > 0$，根據中值定理，存在 $c \in (2, 3)$ 使得 $h(c) = 0$，即 $f(c) = g(c)$。

(2) 確定 $f(x) = g(x)$ 的三個實根分別位於哪些相鄰整數之間

我們已知方程 $f(x) = g(x)$ 相當於 $h(x) = 2x^3 - 9x - 6 = 0$。接下來，我們需要找到這個多項式的三個實根所在的區間。觀察 $h(x)$ 在整數點的值：

根據符號變化，我們可以確定根的位置：

1. 第一個實根：在 $(-2, -1)$ 之間，因為 $h(-2) = -4$（負）和 $h(-1) = 1$（正）。
2. 第二個實根：在 $(-1, 0)$ 之間，因為 $h(-1) = 1$（正）和 $h(0) = -6$（負）。
3. 第三個實根：在 $(2, 3)$ 之間，因為 $h(2) = -8$（負）和 $h(3) = 21$（正）。

結論

1. 第一部分：在區間 $(2, 3)$ 內確實存在一個實數 $c$ 使得 $f(c) = g(c)$。
2. 第二部分：方程 $f(x) = g(x)$ 的三個實根分別位於以下相鄰整數之間：
   • 第一個根：在 $(-2, -1)$ 之間
   • 第二個根：在 $(-1, 0)$ 之間
   • 第三個根：在 $(2, 3)$ 之間

最終答案：

1. 在區間 $(2, 3)$ 內存在一實數 $c$ 使得 $f(c) = g(c)$。
2. 方程 $f(x) = g(x)$ 的三個實根分別位於 $(-2, -1)$、$(-1, 0)$ 和 $(2, 3)$ 這三對相鄰整數之間。

分析各项选项

首先判断 $\frac{2^n}{n^3}$ 和 $n^3$ 的增长速度，确定其极限。然后，比较 $5^n$ 和 $n!$ 的增长，进一步分析极限。

讓我們逐一檢視每個選項，確定哪些敘述是正確的。

(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^n}{n^3}=0$

分析：

• 指數函數 vs 多項式函數：當 $n$ 趨近無限大時，指數函數 $2^n$ 的增長速度遠快於任何多項式函數 $n^k$（此處 $k = 3$）。
• 因此，$\frac{2^n}{n^3}$ 隨著 $n$ 增大，會趨向無限大，而不是零。

結論：

• 錯誤。

(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^n}{n!}=0$

分析：

• 指數函數 vs 階乘函數：階乘函數 $n!$ 的增長速度超過指數函數 $5^n$。這是因為 $n!$ 隨著 $n$ 增大，其增長速度遠快於任何指數函數。
• 根據比值檢驗（Ratio Test），$\frac{5^n}{n!}$ 會趨向於零。

結論：

• 正確。

(3) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2020^n+2021^n+2022^n}{2023^n}=0$

分析：

• 分母與分子比較：將分子中的每一項除以 $2023^n$，得到： $$\frac{2020^n}{2023^n} + \frac{2021^n}{2023^n} + \frac{2022^n}{2023^n} = \left(\frac{2020}{2023}\right)^n + \left(\frac{2021}{2023}\right)^n + \left(\frac{2022}{2023}\right)^n$$
• 每一項 $\left(\frac{a}{2023}\right)^n$（其中 $a < 2023$）隨著 $n$ 增大，都會趨向於零。
• 因此，整個表達式趨向於零。

結論：

• 正確。

(4) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^2}{n^3}+\frac{2^2}{n^3}+\frac{3^2}{n^3}+\cdots+\frac{n^2}{n^3}\right)=0$

分析：

• 求和公式： $$\sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^3} = \frac{1}{n^3} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
• 簡化後： $$\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6n^3} = \frac{2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6} \rightarrow \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \quad (\text{當 } n \rightarrow \infty)$$
• 因此，極限值為 $\frac{1}{3}$，而非零。

結論：

• 錯誤。

(5) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{9 \cdot 2023^n+9 \cdot 10^5}=2023$

分析：

• 主導項分析： $$\sqrt[n]{9 \cdot 2023^n + 9 \cdot 10^5} = 2023 \cdot \sqrt[n]{9 + \frac{9 \cdot 10^5}{2023^n}}$$
• 當 $n$ 趨近於無限大時，$\frac{9 \cdot 10^5}{2023^n} \rightarrow 0$，因此： $$\sqrt[n]{9 \cdot 2023^n + 9 \cdot 10^5} \approx 2023 \cdot \sqrt[n]{9} \rightarrow 2023 \quad (\text{因為 } \sqrt[n]{9} \rightarrow 1)$$
• 因此，極限值為 $2023$。

結論：

• 正確。

最終結論

正確的選項為：

• (2) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^n}{n!}=0$
• (3) $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2020^n+2021^n+2022^n}{2023^n}=0$
• (5) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{9 \cdot 2023^n+9 \cdot 10^5}=2023$

答案：

選項 (2)、(3) 及 (5) 正確。

评估限制

我正在分析给定的限制问题，确定其是否存在有限性。接下来，我会检查每个限制的值和存在性。

确定分母分子

当 $x > 0$ 时，分母为 $x$。当 $x < 0$ 时，分母为 $x$。

界限的影响

左侧和右侧的界限不同，说明界限不存在。

识别分段函数的极限

我在看待分段函数 $[x]$ 时，分析两侧极限。当 $x$ 向0从右趋近时，极限是0；向0从左趋近时，极限是无限大。这揭示了分段函数的非连贯性。

处理极限情况

看到这个问题，我发现极限不存在，因为一个单侧极限趋向无穷大，而另一个趋向零。

重塑表达式

通过定义y = x + 3，并将x趋近于-2，表达式转化为y的多项式形式，使其更简洁。然后，我应用了L'Hôpital法则，分离导数并求解极限，这让我看到了一种新方法。

组合项 = $\frac{x^2 (x-1) - 4}{(x-1)(x-2)}$. 分析分子含符号

计算分母 = 当 x 接近 2 时，分母为 $0$，说明存在 0/0 的类型。通过合并项和化简，得到 $\frac{x^3 - x^2 - 4}{(x-1)(x-2)}$ 形式。

简化和求极限

通过合成除法将原始表达式简化为 $\frac{x^2 + x + 2}{x - 1}$。然后，我计算了当 $x$ 逼近 2 时的极限，它是 8。接着, 探讨了当 $x$ 靠近 0 时，括号内的表达式，得出 $\frac{x}{|x|}$。

计算极限

我在计算左右极限时，发现它们不同，极限可能不存在。进一步检查后，只发现选项 (3) 和 (4) 存在极限。

讓我們逐一分析每個選項，判斷其極限是否存在。

(1) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + |x|}{x}$

分析：

考慮 $x$ 從正方向和負方向趨近於 0 的情況：

• 當 $x \rightarrow 0^+$ 時：

  $$\frac{x + |x|}{x} = \frac{x + x}{x} = \frac{2x}{x} = 2$$

• 當 $x \rightarrow 0^-$ 時：

  $$\frac{x + |x|}{x} = \frac{x - x}{x} = \frac{0}{x} = 0$$

由於左右極限不相等：

因此，極限不存在。

(2) $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{[x]}{x}$，其中 $[x]$ 為高斯符號（即取不大於 $x$ 的最大整數）

分析：

考慮 $x$ 從正方向和負方向趨近於 0 的情況：

• 當 $x \rightarrow 0^+$ 時：

  $$[x] = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{[x]}{x} = \frac{0}{x} = 0$$

• 當 $x \rightarrow 0^-$ 時：

  $$[x] = -1 \quad \Rightarrow \quad \frac{[x]}{x} = \frac{-1}{x}$$

  當 $x \rightarrow 0^-$ 時，$\frac{-1}{x}$ 趨向於 $+\infty$。

左右極限不相等且其中一個趨於無限大，因此，極限不存在。

(3) $\lim_{x \rightarrow -2} \frac{(x + 3)^{100} - 1}{x + 2}$

分析：

首先，代入 $x = -2$：

使用洛必達法則（因為形式為 $\frac{0}{0}$）：

對分子和分母分別求導：

因此，

因此，極限存在且為 100。

(4) $\lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{x^2}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 3x + 2} \right)$

分析：

首先，化簡表達式：

因此，

計算分子：

所以，

檢查 $x = 2$ 是否為分子根：

因此，$x - 2$ 是分子的因式。進行多項式除法或因式分解：

代入後，

現在計算極限：

因此，極限存在且為 8。

(5) $\lim_{x \rightarrow 0} x \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$

分析：

簡化表達式：

當 $x \neq 0$ 時，$\sqrt{x^2 + 1} \approx |x|$ 當 $x \rightarrow 0$，因此：

考慮 $x$ 從正負方向趨近於 0：

• 當 $x \rightarrow 0^+$ 時：

  $$\frac{x}{|x|} = 1$$

• 當 $x \rightarrow 0^-$ 時：

  $$\frac{x}{|x|} = -1$$

因此：

左右極限不相等，極限不存在。

總結

極限存在的選項為：

• (3) $\lim_{x \rightarrow -2} \frac{(x + 3)^{100} - 1}{x + 2} = 100$
• (4) $\lim_{x \rightarrow 2} \left( \frac{x^2}{x - 2} - \frac{4}{x^2 - 3x + 2} \right) = 8$

答案：

極限值存在的選項是 (3) 和 (4)。