Реши

Конечно. Вот решение по пунктам.

Дано

Функция потерь:

$$L(M)=\log_2(1+e^{-M})$$

---

1. В какой точке $M$ функция $(1-M)^2$ достигает минимума?

Функция

$$(1-M)^2$$

минимальна тогда, когда квадрат равен нулю:

$$1-M=0 \Rightarrow M=1$$

Ответ:

$$\boxed{M=1}$$

---

2. Вычислите значение функции потерь $L(M)$ при $M=1$

Подставим $M=1$:

$$L(1)=\log_2(1+e^{-1})$$

Это и есть точное значение.

Приближённо:

$$e^{-1}\approx 0.3679$$ $$1+e^{-1}\approx 1.3679$$ $$\log_2(1.3679)\approx 0.452$$

Ответ:

$$\boxed{L(1)=\log_2(1+e^{-1})\approx 0.452}$$

---

3. Общая схема алгоритма градиентного спуска

Градиентный спуск нужен для поиска минимума функции.

Шаги алгоритма:

1. Выбрать начальную точку $w^{(0)}$
2. Вычислить градиент функции в текущей точке: $$\nabla f(w^{(k)})$$
3. Сделать шаг в сторону, противоположную градиенту: $$w^{(k+1)} = w^{(k)} - \eta \nabla f(w^{(k)})$$ где $\eta$ — шаг обучения
4. Повторять, пока не выполнится условие остановки:
   • градиент мал,
   • изменения малы,
   • достигнуто нужное число итераций

Итоговая формула:

$$\boxed{w_{new}=w_{old}-\eta \nabla f(w_{old})}$$

---

4. Найдите градиент функции

$$f(x,y,z)=x^2y+e^z$$

Найдём частные производные:

По $x$:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy$$

По $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2$$

По $z$:

$$\frac{\partial f}{\partial z}=e^z$$

Значит, градиент:

$$\boxed{\nabla f(x,y,z)=\left(2xy,\;x^2,\;e^z\right)}$$

---

5. Найдите градиент $\nabla L(M)$, если

$$M=w_0+w_1x_1+w_2x_2$$

в точке $(x_1,x_2)=(1,-1)$, $\vec w=(0,1,1)$

Шаг 1. Найдём производную $L(M)$ по $M$

$$L(M)=\log_2(1+e^{-M})$$

Используем формулу:

$$\frac{d}{dM}\log_2 u = \frac{u'}{u\ln2}$$

Где

$$u=1+e^{-M}, \quad u'=-e^{-M}$$

Тогда:

$$\frac{dL}{dM}=\frac{-e^{-M}}{(1+e^{-M})\ln2}$$

Удобно переписать:

$$\frac{dL}{dM}=-\frac{1}{(1+e^M)\ln2}$$

---

Шаг 2. Найдём градиент по вектору весов $(w_0,w_1,w_2)$

Так как

$$M=w_0+w_1x_1+w_2x_2$$

то

$$\nabla_w M = (1,x_1,x_2)$$

По правилу цепочки:

$$\nabla_w L(M)=\frac{dL}{dM}\,\nabla_w M$$

То есть

$$\boxed{\nabla_w L(M)= -\frac{1}{(1+e^M)\ln2}(1,x_1,x_2)}$$

---

Шаг 3. Подставим точку и веса

Дано:

$$x_1=1,\quad x_2=-1,\quad (w_0,w_1,w_2)=(0,1,1)$$

Сначала найдём $M$:

$$M=0+1\cdot1+1\cdot(-1)=0$$

Тогда:

$$\nabla_w L(M)= -\frac{1}{(1+e^0)\ln2}(1,1,-1)$$

Так как $e^0=1$, получаем:

$$\nabla_w L(M)= -\frac{1}{2\ln2}(1,1,-1)$$

Ответ:

$$\boxed{\nabla_w L(M)= -\frac{1}{2\ln2}(1,1,-1)}$$

---

Краткие ответы

$$\boxed{M=1}$$

$$\boxed{L(1)=\log_2(1+e^{-1})\approx 0.452}$$

$$\boxed{w^{(k+1)}=w^{(k)}-\eta \nabla f(w^{(k)})}$$

$$\boxed{\nabla f(x,y,z)=(2xy,\;x^2,\;e^z)}$$

$$\boxed{\nabla_w L(M)= -\frac{1}{2\ln2}(1,1,-1)}$$

Могу ещё оформить это аккуратно как готовое решение для переписывания в тетрадь.

Да, можно ещё короче и по делу:

3. Общая схема градиентного спуска:

1. Задать начальную точку $w_0$
2. Повторять: $$w_{k+1} = w_k - \eta \nabla f(w_k)$$
3. Остановиться при сходимости (малый градиент или изменения)

Суть: двигаемся против градиента, чтобы найти минимум.