Минимальное значение выражения

Minimalwert berechnen

Ich schaue mir das Problem an, das den minimalen Wert des Ausdrucks √(x^2 + 1) + √(y^2 + 4) + √(z^2 + 9) unter der Bedingung |x| + |y| + |z| = 8 sucht.

Untersuche mögliche Methoden wie Dreiecksungleichung, Lagrange-Multiplikatoren oder Nicht-Negativität der Variablen x, y, z. Ziel ist es, E zu minimieren, indem die Variablen proportional zu den Quadratkoeffizienten der Radikalen gemacht werden.

Überlegen eines Ansatzes

Ich wirke darauf hin, dass die Ausdrücke für x, y und z als Vielfache von k formuliert werden, wodurch sich k = 4/3 ergibt, was zu den Werten x = 4/3, y = 8/3, z = 4 führt.

Überprüfen und analysieren

Ich schaue mir die gegebene Gleichung an und prüfe, ob die ausgewählten Werte den Wert von E verändern. Dabei wird deutlich, dass E bei anderen Werten nicht unter 10 fällt.

Anpassen der Variablen

E lässt sich durch verschiedene Einstellungen von x, y und z anpassen. Mit x = 0, y = 0, z = 8 ergibt sich E ≈ 11.544, und mit x = 8, y = z = 0 ergibt sich E ≈ 13.062.

Чтобы найти наименьшее значение выражения $E = \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 4} + \sqrt{z^2 + 9}$ при условии $|x| + |y| + |z| = 8$, следуем следующим шагам:

1. Предположим, что $x$, $y$, $z$ неотрицательны (так как в выражении участвуют их модули), то есть $x, y, z \geq 0$, и тогда $x + y + z = 8$.

2. Предположим пропорциональность между $x$, $y$, $z$ и коэффициентами под корнями: $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3} = k$.

3. Найдём значение $k$:

   $$x + y + z = 1k + 2k + 3k = 6k = 8 \Rightarrow k = \frac{4}{3}$$

4. Вычислим значения $x$, $y$, $z$:

   $$x = \frac{4}{3}, \quad y = \frac{8}{3}, \quad z = 4$$

5. Вычислим значение выражения $E$:

   $$E = \sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^2 + 1} + \sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^2 + 4} + \sqrt{4^2 + 9} = \frac{5}{3} + \frac{10}{3} + 5 = 5 + 5 = 10$$

6. Проверим, что это минимальное значение. При других значениях $x$, $y$, $z$ при том же условии сумма $E$ будет больше 10.

Таким образом, наименьшее значение выражения равно 10.

Ответ: 10.