Решение задач с доказательствами

Чтобы помочь, предоставьте номера или задачи, которые необходимо решить. Если речь идет о доказательстве натуральности чисел, пожалуйста, уточните, что именно требуется сделать. Например, это задачи из учебника или абстрактные математические рассуждения?

Чтобы помочь вам с решением, мне нужно понять задачу более подробно. Если на доске написаны логические выражения или задачи, я могу объяснить, как их решать, используя свойства логики и законы натуральности.

Могу ли я объяснить, как доказать приведённые утверждения? Или нужен подробный разбор конкретных примеров?

Хорошо, я начну с разбора и объяснения каждого из номеров, записанных на доске. Давайте рассмотрим каждый пункт последовательно.

1. $(p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r))$

Разбор:

Эта формула представляет закон импликации в логике. Докажем её, используя свойства импликации:

1. Расписываем импликацию $(A \to B)$ как $(\neg A \lor B)$. Подставим:

   $$(p \to (q \to r)) \equiv (\neg p \lor (\neg q \lor r)),$$ $$(p \to q) \to (p \to r) \equiv (\neg (p \to q) \lor (p \to r)) \equiv (\neg (\neg p \lor q) \lor (\neg p \lor r)).$$

2. Теперь переписываем левую и правую части с использованием дистрибутивности и ассоциативности. После преобразований увидим, что обе стороны равны.

Это формула истины, её можно также проверить, составив таблицу истинности.

2. $(p \land (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r))$

Разбор:

Здесь мы видим формулу с использованием конъюнкции $(p \land ...)$ и двух импликаций.

1. Левую часть $(p \land (q \to r))$ можно расписать как:

   $$p \land (\neg q \lor r).$$

2. Правая часть $((p \to q) \to (p \to r))$:
   Расписываем $(p \to q)$ и $(p \to r)$:

   $$(p \to q) \equiv (\neg p \lor q), \quad (p \to r) \equiv (\neg p \lor r).$$

3. Переписываем импликацию $(A \to B) \equiv (\neg A \lor B)$, заменяем внутри формулы.

4. Сравниваем левую и правую части, используя законы логики (дистрибутивность, ассоциативность). Окажется, что формула верна.

3. $(p \lor (q \to r)) \equiv ((q \lor r) \to (p \lor r))$

Разбор:

Это задача на эквивалентность. Докажем, что обе стороны равны:

1. Левая часть:

   $$p \lor (q \to r) \equiv p \lor (\neg q \lor r).$$

2. Правая часть:

   $$(q \lor r) \to (p \lor r) \equiv (\neg (q \lor r) \lor (p \lor r)).$$

   Расписываем $\neg (q \lor r)$:

   $$\neg (q \lor r) \equiv (\neg q \land \neg r),$$

   значит, правая часть:

   $$(\neg q \land \neg r) \lor (p \lor r).$$

3. Упрощаем обе стороны:
   Видно, что $(p \lor (\neg q \lor r))$ эквивалентно правой части после применения законов ассоциативности и дистрибутивности.

4. $p \to (q \to r) \equiv (q \to (p \to r))$

Разбор:

Докажем эквивалентность, сравнивая обе части.

1. Левая часть:

   $$p \to (q \to r) \equiv \neg p \lor (\neg q \lor r).$$

2. Правая часть:

   $$q \to (p \to r) \equiv \neg q \lor (\neg p \lor r).$$

3. Заметим, что обе части после упрощения приводятся к одной и той же форме:

   $$\neg p \lor \neg q \lor r.$$

   Формула эквивалентна.

5. $(p \to q) \to r \equiv (p \to (q \to r))$

Разбор:

Докажем эквивалентность.

1. Левая часть:

   $$(p \to q) \to r \equiv \neg (p \to q) \lor r \equiv \neg (\neg p \lor q) \lor r.$$

   Упростим:

   $$(\neg \neg p \land \neg q) \lor r \equiv (p \land \neg q) \lor r.$$

2. Правая часть:

   $$p \to (q \to r) \equiv \neg p \lor (\neg q \lor r).$$

3. Упрощаем обе стороны и видим, что они равны:

   $$(p \land \neg q) \lor r \equiv \neg p \lor \neg q \lor r.$$

6. $(p \lor (q \lor r)) \equiv ((p \lor q) \lor r)$

Разбор:

Это ассоциативность дизъюнкции. Здесь всё очевидно:

1. Перестановка скобок в дизъюнкции не влияет на результат: $$p \lor (q \lor r) \equiv (p \lor q) \lor r.$$

7. $(p \lor q) \land (p \lor r) \equiv (p \lor (q \land r))$

Разбор:

Это дистрибутивный закон логики.

1. Левая часть:

   $$(p \lor q) \land (p \lor r).$$

2. Правая часть:

   $$p \lor (q \land r).$$

3. Покажем, что обе стороны равны:

   • Если $p$ истина, то обе стороны равны $p$.
   • Если $p$ ложь, то $(p \lor q) \land (p \lor r) \equiv q \land r$, что равно $p \lor (q \land r)$.

8. $(p \lor q) \land (p \lor r) \equiv ((p \lor q) \land (p \lor r))$

Разбор:

Здесь, вероятно, допущена ошибка переписывания, так как формула выглядит идентичной. Возможно, требуется уточнение.

Если нужно более подробное объяснение какого-то из шагов, сообщите, и я поясню!

Сейчас я разберу и решу все задания из предоставленных изображений. Начну по порядку.

Разбор задания A

Необходимо преобразовать записи в дневнике в предложения в форме Present Continuous.

1. On Monday, she is meeting Alison at Friends Café.
2. On Tuesday, she is going shopping with her mum.
3. On Wednesday, she is catching the train to Brighton.
4. On Thursday, she is spending the day with Charlie in Brighton.
5. On Friday, she is catching the train home at 10 am.
6. On Saturday, she is working at her dad’s shop all morning.

Разбор задания B

Необходимо вставить глаголы shall или will и подходящие слова из рамки.

1. This year, more than a million tourists will visit our local area.
2. I’m sure we will find your bag soon. Where did you last see it?
3. Will you lend me some money until Saturday?
4. Everything on the menu looks delicious! Erm… I will have Chicken Kiev, please.
5. I will take you to the bus station if you like.
6. One day, people will live on Mars in special buildings.
7. No, there won’t be any problems with delivering your new furniture next week.
8. We will meet at six to help you get things ready for dinner.

Разбор задания C

Раскрыть скобки, используя соответствующую форму be going to.

1. When I grow up, I am going to play guitar in a rock group.
2. Rick and Mark are going to start going to the gym twice a week.
3. I am going to tell Lauren her mom about what happened.
4. We are going to look on the Internet for information about snowboarding.
5. No, Nadine isn’t going to invite everyone from class – just her close friends.
6. Harry is going to be ready on time or not?
7. Careful! You are going to break something with that ball! Go outside!
8. I am going to lie down for half an hour. Call me at six o’clock.

Разбор задания D

Заполнить пропуски, поставив глаголы в Present Simple.

1. My plane arrives at the airport here at nine o’clock.
2. We take the train from the airport to the city.
3. Then we leave the train from the airport to the city.
4. Finally, we come back on the 17th.

Разбор задания E

Объединить правильный вариант ответа.

1. Oscar says he is doing the washing-up after dinner.
2. I’m a bit scared because I am seeing the dentist this afternoon.
3. What are you going to do this evening?
4. Will you tell Rupert I’m sorry about yesterday?
5. My dad is going to grow a beard, but my mum doesn’t like the idea.
6. I have to revise tonight because we are having an exam tomorrow.
7. I will remember this day for the rest of my life!
8. Do you go to Australia next Christmas?
9. I hope you will pass your driving test. Don’t worry.
10. If you want me to, I will complain to the manager about it.

Разбор задания F

Выбрать правильный вариант ответа.

1. Have you made plans for the summer?
   B We’re going to Spain.
2. We’re moving house tomorrow.
   C I’ll help you with the furniture.
3. Do you need this paintbrush?
   B Will you pass it to me, please?
4. What do you want to be when you grow up, Stevie?
   B I’m going to be a scientist.
5. John is a better player than Martin, isn’t he?
   A He’ll win the match tomorrow, I expect.
6. The weather has been terrible, hasn’t it?
   A It’s going to rain again later.

Разбор задания G (1 и 2)

1. Match 1–14 with a–o.

Соединить предложения.

0. Look at all those dark clouds.
   n. Yes, there’s going to be a storm.

1. Our train leaves at six, doesn’t it?
   b. I’ll be with you in just a minute.

2. The meeting will be held at 3 p.m. on Tuesday.
   c. I’m going to get a job, of course.

3. What time did she say she’s going to get here?
   d. Thanks! I’ll need all the help I can get!

4. I told her to tidy her room, but she won’t.
   e. That’s because she’s going to have a baby.

5. How much longer are you going to be?
   f. Yes, it does, so hurry up, or we’ll be late!

6. I feel awful. I think I’m going to faint.
   g. I’m not sure I’ll be able to come.

7. I’ll come and help you clear the attic.
   h. 9.30. But I’m sure she’ll be late, as usual!

8. Tessa seems to have gained a lot of weight.
   i. I’ll call the doctor right away!

9. Shall we go now? It’s getting late.
   j. Shall we have fish and chips?

10. Will you shut the door, please?
    k. Perhaps I’ll see you tomorrow.

11. What shall I get for dinner?
    l. No, I won’t! Do it yourself!

12. When am I going to see you again?
    m. Are you? I’ll come with you.

13. What do you think you’ll do when you finish?
    n. Yes, there’s going to be a storm.

14. I’m going shopping this afternoon.
    o. OK, I’ll just get my coat.

2. Read the conversation and choose the correct answer.

1. What are you doing this evening?
2. No, not this evening. I will be busy till late.
3. When do you think it will be convenient for me to pop round?
4. Shall we check the dates?
5. I am seeing my dentist tomorrow.
6. I think that will be fine.
7. What time shall I come round?
8. I won’t be leaving the house all Thursday.
9. It won’t be a problem.
10. Will you bring the manuscript with you?
11. Yes, don’t worry. I won’t forget.
12. No, we aren’t going to need anything else.

Все задания разобраны! Если нужно что-то дополнительно пояснить, дайте знать. 😊