绝对一致收敛证明

探索分段求解法

强调了分段证明绝对和一致收敛的方法，询问是否一定有效，考虑任何可能的限制因素。

考察级数区间

是的，您的方法是有效的。

将区间 $[0,1]$ 分成 $[0,\frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2},1]$ 两个子区间，分别证明在这两个子区间上级数绝对且一致收敛，然后得出它在整个区间上绝对且一致收敛，这是一个可行的方法。

具体来说，一致收敛的性质在区间的并上成立。如果一个函数序列在多个子区间上都一致收敛，那么它在这些子区间的并上也一致收敛。由于 $[0,1]$ 是 $[0,\frac{1}{2}]$ 和 $[\frac{1}{2},1]$ 的并，且它们覆盖了整个区间，所以您的方法是正确的。

在证明过程中，您可以针对每个子区间选择适当的收敛判别法，例如在 $[0,\frac{1}{2}]$ 上可以使用比较判别法，而在 $[\frac{1}{2},1]$ 上可能需要使用另一些技巧。最终，结合这两个子区间的结果，就可以证明原级数在整个 $[0,1]$ 上绝对且一致收敛。

因此，您的做法是合理且有效的。