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질문

삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음이고, 삼각형 ABC의 넓이가 32 cm 제곱일 때, 삼각형 DEF의 넓이는? [삼각형 ABC에서 선분 BC의 길이는 8 cm] [삼각형 DEF에서 선분 EF의 길이는 10 cm]

사고

궁금한 내용 파악

내가 요청하는 것에 따라 적절한 답변을 제공하고 있어. OpenAI 정책에 따라 사용자의 질문을 이해하려고 해.

삼각형의 성질 탐구

삼각형 ABC와 DEF가 닮음의 성질을 가지고 있어. 삼각형 ABC의 넓이가 32 cm²일 때, 삼각형 DEF의 넓이를 알고 싶어. 각 삼각형의 길이를 비교하면 답을 찾을 수 있을 것 같아.

사각형 넓이 계산

삼각형의 비를 정하고, 그 비율의 제곱을 곱해 결과적으로 삼각형 DEF의 넓이가 50cm²임을 알 수 있어.

생각해보고 만나는 중

이야기 중에 사용자의 마지막 메시지에 대한 답을 한국어로 작성하고 있어. 필요에 따라 '깊이 탐구하다'와 '궁극적인'을 언급하며, 계산 과정과 답을 하나의 단락에 포함하는 중이야.

삼각형 크기 비교하기

ABC와 DEF의 길이 비율을 보니 4:5로 보이고, 면적 비율을 계산하면서 DEF의 면적이 50 cm²로 나오네.

다른 삼각형이 닮은 관계에 있어, 변의 길이 비율이 4:5인 경우 넓이 비율은 (4:5)² = 16:25로 계산되고, 결과적으로 삼각형 DEF의 넓이는 50 cm²로 결정되고 있어요.

답변

삼각형 ABC와 DEF는 닮음이므로 대응하는 변의 길이 비율은 BC : EF = 8 cm : 10 cm = 4 : 5입니다. 길이 비의 제곱이 넓이의 비가 되므로, 넓이 비율은 (4/5)² = 16/25입니다. 따라서 삼각형 DEF의 넓이는 32 cm2×2516=50 cm232 \text{ cm}² \times \dfrac{25}{16} = 50 \text{ cm}²가 됩니다. 궁극적으로, 삼각형 DEF의 넓이는 50 cm²입니다.

질문

풀이과정 알려줘

사고

닮은 삼각형의 넓이 비율 계산

삼각형 ABC와 DEF의 닮음을 통해 변의 길이 비율을 사용하고 있어. 이를 기반으로 넓이 비율을 계산 중이야.

제공하는 과정 살펴보기

사용자는 특정 과정을 요청하고 있어. 이 요구 사항을 충족하려면, OpenAI 정책에 따라 자세한 해결 과정을 한국어로 제공해야 해.

비례 계산과 면적 비교

삼각형 ABC의 면적을 고려하며, 비례 관계를 통해 삼각형 DEF의 면적을 계산하고 있어. 이건 흥미로운 접근이야.

넓이 비율 계산 중

삼각형 ABC와 DEF를 비교하면서 길이 비율을 찾고 있어. 계산해보니, 넓이 비율은 길이 비율의 제곱 (45)2=1625\left( \dfrac{4}{5} \right)^2 = \dfrac{16}{25}이네.

답변

풀이 과정을 자세히 설명해 드리겠습니다.

1. 닮은 삼각형의 성질 확인

삼각형 ABC와 삼각형 DEF는 닮음입니다. 닮은 도형에서는 대응하는 변들의 길이의 비가 일정하며, 넓이의 비는 대응하는 변의 길이 비의 제곱에 비례합니다.

2. 대응하는 변의 길이 비 구하기

  • 삼각형 ABC에서 선분 BC‾\overline{BC}의 길이: 8 cm
  • 삼각형 DEF에서 선분 EF‾\overline{EF}의 길이: 10 cm

따라서 대응하는 변의 길이 비는:

길이 비=BC‾EF‾=810=45\text{길이 비} = \frac{\overline{BC}}{\overline{EF}} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}

3. 넓이의 비 구하기

길이 비의 제곱이 넓이의 비가 되므로:

넓이 비=(45)2=1625\text{넓이 비} = \left( \frac{4}{5} \right)^2 = \frac{16}{25}

4. 삼각형 DEF의 넓이 계산

삼각형 ABC의 넓이가 32 cm²이므로, 넓이의 비를 이용하여 삼각형 DEF의 넓이를 구합니다.

먼저, 넓이의 비를 식으로 나타내면:

ABC의 넓이DEF의 넓이=1625\frac{\text{ABC의 넓이}}{\text{DEF의 넓이}} = \frac{16}{25}

이를 DEF의 넓이에 대해 풀면:

DEF의 넓이=ABC의 넓이×2516\text{DEF의 넓이} = \text{ABC의 넓이} \times \frac{25}{16}

값을 대입하면:

DEF의 넓이=32 cm2×2516\text{DEF의 넓이} = 32 \text{ cm}^2 \times \frac{25}{16}

계산하면:

DEF의 넓이=32×2516=32×1.5625=50 cm2\text{DEF의 넓이} = 32 \times \frac{25}{16} = 32 \times 1.5625 = 50 \text{ cm}^2

5. 결론

따라서, 삼각형 DEF의 넓이는 50 cm²입니다.

궁금한 점이 있으면 언제든지 질문해주세요!

질문

이거 이렇게 복잡하게 풀지 않아도 될 것 같은데. 공식으로 풀어도 되지 않을까?

사고

사용자의 요청 탐구

문제 해결을 위한 공식 적용 가능성 찾기. 이를 통해 보다 간단한 접근 방법을 모색하고 있어.

넓이비율 계산

삼각형 ABC와 DEF의 닮음 비율은 각 변의 길이 비율에서 유래한다. 넓이비율은 각 변의 길이 비율의 제곱으로 계산된다.

계산 공식 구상 중

비슷한 도형의 넓이 비는 해당 변의 비 제곱에 비례하는 공식을 통해 계산하고 있어.

계산해 보는 방법

삼각형 ABC의 넓이를 활용해 삼각형 DEF의 넓이를 다음과 같이 계산합니다.

대응하는 변 길이 비율 찾기

길이 비=EF‾BC‾=10 cm8 cm=54\text{길이 비} = \frac{\overline{EF}}{\overline{BC}} = \frac{10 \text{ cm}}{8 \text{ cm}} = \frac{5}{4}

넓이 비율 계산

넓이 비=(54)2=2516\text{넓이 비} = \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}

삼각형 DEF의 넓이 구하기

삼각형 DEF의 넓이=삼각형 ABC의 넓이×넓이 비=32 cm2×2516=50 cm2\text{삼각형 DEF의 넓이} = \text{삼각형 ABC의 넓이} \times \text{넓이 비} = 32 \text{ cm}^2 \times \frac{25}{16} = 50 \text{ cm}^2

삼각형 DEF의 넓이는 50 cm²입니다.

답변

맞습니다, 더 간단하게 공식으로 풀 수 있습니다.

간단한 풀이

  1. 대응하는 변의 길이 비율 구하기

    길이 비=EF‾BC‾=10 cm8 cm=54\text{길이 비} = \frac{\overline{EF}}{\overline{BC}} = \frac{10 \text{ cm}}{8 \text{ cm}} = \frac{5}{4}

  2. 넓이의 비율은 길이 비율의 제곱

    넓이 비=(54)2=2516\text{넓이 비} = \left( \frac{5}{4} \right)^2 = \frac{25}{16}

  3. 삼각형 DEF의 넓이 계산

    삼각형 DEF의 넓이=삼각형 ABC의 넓이×넓이 비=32 cm2×2516=50 cm2\text{삼각형 DEF의 넓이} = \text{삼각형 ABC의 넓이} \times \text{넓이 비} = 32 \text{ cm}^2 \times \frac{25}{16} = 50 \text{ cm}^2

결론

따라서, 삼각형 DEF의 넓이는 50 cm²입니다.

이렇게 공식으로 간단하게 풀 수 있습니다.

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