Целочисленные точки и их сумма

Entschlüsselung des Problems

Zuerst muss ich die Aufgabe verstehen: Es geht um integer Punkte (x, y) im Plane, die spezifische Ungleichungen erfüllen. Aufgabe: Summiere die y-Koordinaten und multipliziere sie mit der Anzahl der Punkte.

Umformulieren der Ungleichungen

Ich setzte die Ungleichungen in Standardform um. Die erste Ungleichung wird zu: $x^2 + y^2 + 2x - 2y + 3 < 110$.

Es war eine Überlegung

Ich denke darüber nach, wie der Text möglicherweise neu formuliert werden sollte, um klarer zu machen, welche Region er repräsentiert.

Kreiseinheit umstellen

Ich fange an, meine Kreise in allgemeiner Form darzustellen, indem ich quadratische Ausdrücke vervollständige und Konstanten kürze. Das führte dazu, eine Ungleichung des Kreises zu formen.

Untersuchen der Fälle

Ich schaue mir die absolute Ungleichung | y + 2x | ≥ | 3x + 2y | an, indem ich die Fälle betrachte und die Bereiche identifiziere, in denen diese Tatsache zutrifft.

Zusammenfassung der Überlegungen zur vereinfachten Ungleichung: Ich denke darüber nach, wie man die Gruppierung von Ausdrücken innerhalb der Betragsstriche angeht und die resultierende Ungleichung durch sparsames Rechnen vereinfacht.

Untersuchung von Regionen

Ich schaue mir die Funktion h(x, y) = |y + 2x| - |3x + 2y| an und wähle Regionen, in denen diese Funktion größer oder gleich null ist.

Ansehen der Fälle

Ich schaue mir verschiedene Fälle der Ungleichung gleich an und versuche sie zu vereinfachen.

Ermittlung möglicher Punkte

Ich schaue mir die ganzzahligen Punkte (x, y) an, die die Ungleichung innerhalb des Kreises erfüllen könnten. Der Kreis hat einen Radius von √109 und einen Mittelpunkt bei (-1, 1).

Erkundung von Punkten

Ich schaue mir die Ganzzahlpunkte (x, y) im Kreis an, der ungefähr einen Radius von 10.44 hat und bei (-1, 1) zentriert ist.

Überprüfen von Bedingungen

Ich schaue mir alle ganzzahligen Paare (u, v) zwischen -10 und 10 an, deren Quadrierte Summe 108 überschreitet.

Generierung ganzer Zahlenpaare

Ich denke darüber nach, alle ganzzahligen Paare (u, v) zu erstellen, bei denen $u^2 + v^2 \leq 108$, und überprüfe dann, ob diese Paare die zweite Ungleichung erfüllen.

Berechne Integer-Paare

Ich schaue mir jetzt Integer-Paare (u, v) an, bei denen u von -10 bis 10 geht und v im entsprechenden Bereich liegt, so dass u^2 + v^2 ≤ 108.

Berechne integer Punkte

Ich bin dabei, alle Integer-Punkte innerhalb eines Kreises zu generieren und die zweite Ungleichung zu überprüfen, indem ich die Ausdrücke s und t für jedes Punkt berechne.

Überprüfen und analysieren

Ich denke darüber nach, wie die Ungleichung vereinfacht werden kann, indem ich die Beträge isoliere oder untersuche, ob s und t gleich sind.

Rechtliche Gleichungen analysieren

Ich schaue mir die Gleichungen y + 2x = ± (3x + 2y) genauer an. Durch Umfragen und Subtraktion von y und 3x finde ich y = -x oder y = - (5x)/3. Es zeigt sich, dass x ein Vielfaches von 3 sein muss.

Identifizieren der Werte

Hmm, ich denke über mögliche Werte für x und y nach. Wenn x = 3k und y = -5k, entstehen interessante Integer-Lösungen.

Überprüfen von Ungleichheiten

Ich schaue mir x und y an, um zu sehen, ob sie die Ungleichheit (x + 1)^2 + (y - 1)^2 ≤ 108 erfüllen und ob | s | ≥ | t | gilt. Es sieht gut aus!

Überprüfung integer Punkte

Hm, lass mich nachdenken - ich schaue mir integer Punkte (x, y) an, um sicherzustellen, dass sie beide Ungleichungen erfüllen. Es geht darum, Lösungen zu finden und zu überprüfen.

Iterieren und Berechnen zeigt den Bereich der x- und y-Werte an, die von -11 bis 9 reichen. Es wird überprüft, ob (x + 1)^2 + (y - 1)^2 ≤ 108 erfordert.

Чтобы решить эту задачу, необходимо найти все целочисленные точки $(x, y)$, удовлетворяющие системе неравенств:

1. $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 < 109$
2. $|y + 2x| \geq |3x + 2y|$

Первое неравенство описывает круг с центром в точке $(-1, 1)$ и радиусом $\sqrt{109}$. Второе неравенство требует анализа выражений с модулями.

Мы можем искать целочисленные точки внутри круга, изменяя $x$ от $-11$ до $9$ и $y$ в соответствующем диапазоне, проверяя оба неравенства. После проверки мы находим следующие 8 точек:

1. $(-6, 9)$
2. $(-5, 7)$
3. $(-4, 5)$
4. $(-3, 3)$
5. $(-2, 2)$
6. $(-1, 1)$
7. $(0, 0)$
8. $(1, -1)$

Сумма ординат этих точек: $9 + 7 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 - 1 = 26$.

Количество точек: $8$.

Произведение суммы ординат на количество точек: $26 \times 8 = 208$.

Ответ: 208