합성함수 계산 방법

함수 정의 살펴보기

주어진 함수 정의를 살펴보고 있네. f(x)와 g(x)의 조합을 통해 f(g(x))와 g(f(x))를 계산하는 방법을 설명하고 있어.

정의 분석 중

복합 함수의 정의를 파악하고 도메인을 분석하고 있어. f(g(x))를 계산할 때는 g(x)를 먼저 계산하고 f의 적용 범위를 결정하는 중이야.

|x| > 2 or |x| ≤ 2인지 확인하는 것이 중요해요. x^2 -2가 -2보다 작을 때는 항상 불가능해요.

얻고자 하는 함수는 f(g(x))와 g(f(x))입니다. 각 정의에 따라 값을 계산하고, 결과적으로 f(g(x)) = 2, g(f(x)) = 2 또는 x^2 - 2로 나옵니다.

함수 합성 이해하기

합성 함수를 정의하고, g(x)와 f(g(x))를 단계적으로 계산한 후 분수형식으로 표현하는 방법을 설명하고 있어.

LaTeX 표현을 포함한 한국어 답변 유도

주어진 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$에 대해 합성함수 $f(g(x))$와 $g(f(x))$를 만드는 과정을 단계별로 설명드리겠습니다.

주어진 함수는 다음과 같습니다:

1. 합성함수 $f(g(x))$ 만들기

합성함수 $f(g(x))$는 먼저 $g(x)$를 계산한 후, 그 결과를 $f$ 함수에 대입하여 계산합니다.

즉,

이제 $g(x) = x^2 - 2$의 값을 기준으로 $f$ 함수의 각 경우를 살펴보겠습니다.

경우 1: $g(x) > 2$

이 경우, $f(g(x)) = -2$입니다.

경우 2: $|g(x)| \le 2$

이 경우, $f(g(x)) = -(x^2 - 2) = -x^2 + 2$입니다.

경우 3: $g(x) < -2$

하지만 $x^2$은 항상 0 이상이므로 이 경우는 발생하지 않습니다.

따라서 합성함수 $f(g(x))$는 다음과 같이 정의됩니다:

2. 합성함수 $g(f(x))$ 만들기

합성함수 $g(f(x))$는 먼저 $f(x)$를 계산한 후, 그 결과를 $g$ 함수에 대입하여 계산합니다.

즉,

각 경우별로 살펴보겠습니다.

경우 1: $x > 2$

경우 2: $|x| \le 2$

경우 3: $x < -2$

따라서 합성함수 $g(f(x))$는 다음과 같이 정의됩니다:

요약

• 합성함수 $f(g(x))$:

  $$f(g(x)) = \begin{cases} -2 & (|x| > 2) \\ - x^2 + 2 & (|x| \le 2) \end{cases}$$

• 합성함수 $g(f(x))$:

  $$g(f(x)) = \begin{cases} 2 & (x > 2 \text{ 또는 } x < -2) \\ x^2 - 2 & (|x| \le 2) \end{cases}$$

이와 같이 각 함수의 정의역을 분석하여 합성함수를 정의할 수 있습니다. 필요한 경우 그래프를 그려서 각 합성함수의 동작을 시각적으로 확인하는 것도 도움이 될 것입니다.

함수 대입 확인

사용자는 f(g(x)) 또는 g(f(x))를 계산할 때, f(x)의 조건에 g(x)를 직접 대입하는 것이 가능한지 확인하고 있어요.

네, 맞습니다! 합성함수를 구할 때 함수 $f$ 또는 $g$의 정의에 있는 조건들을 활용하여 적절하게 대입하면 됩니다. 보다 구체적으로 설명드리겠습니다.

합성함수 $f(g(x))$ 만들기

합성함수 $f(g(x))$를 구할 때는 먼저 $g(x)$를 계산한 후 그 결과를 함수 $f$에 대입합니다. 이 과정에서 $f$의 정의에 있는 조건들을 $g(x)$에 맞게 적용해야 합니다.

주어진 함수는 다음과 같습니다:

1. 조건에 $g(x)$ 대입하기:

   $f(g(x)) = f(x^2 - 2)$ 이므로, $f$의 조건에 $x^2 - 2$를 대입합니다.

   • 조건 1: $x^2 - 2 > 2$

     $$x^2 - 2 > 2 \implies x^2 > 4 \implies |x| > 2$$

     이 경우, $f(g(x)) = -2$입니다.

   • 조건 2: $|x^2 - 2| \le 2$

     $$-2 \le x^2 - 2 \le 2 \implies 0 \le x^2 \le 4 \implies |x| \le 2$$

     이 경우, $f(g(x)) = -(x^2 - 2) = -x^2 + 2$입니다.

   • 조건 3: $x^2 - 2 < -2$

     $$x^2 - 2 < -2 \implies x^2 < 0$$

     그러나 $x^2$은 항상 0 이상이므로 이 조건은 불가능합니다.

2. 결과 정리:

   따라서 합성함수 $f(g(x))$는 다음과 같이 정의됩니다:

   $$f(g(x)) = \begin{cases} -2 & (|x| > 2) \\ -x^2 + 2 & (|x| \le 2) \end{cases}$$

합성함수 $g(f(x))$ 만들기

합성함수 $g(f(x))$를 구할 때는 먼저 $f(x)$를 계산한 후 그 결과를 함수 $g$에 대입합니다. 이 과정에서도 $g$의 정의를 활용해야 합니다.

1. 조건에 $f(x)$ 대입하기:

   $g(f(x)) = g(f(x)) = (f(x))^2 - 2$ 이므로, $f$의 각 경우에 따라 $g$에 대입합니다.

   • 조건 1: $x > 2$

     $$f(x) = -2 \implies g(f(x)) = (-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2$$

   • 조건 2: $|x| \le 2$

     $$f(x) = -x \implies g(f(x)) = (-x)^2 - 2 = x^2 - 2$$

   • 조건 3: $x < -2$

     $$f(x) = 2 \implies g(f(x)) = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$$

2. 결과 정리:

   따라서 합성함수 $g(f(x))$는 다음과 같이 정의됩니다:

   $$g(f(x)) = \begin{cases} 2 & (x > 2 \text{ 또는 } x < -2) \\ x^2 - 2 & (|x| \le 2) \end{cases}$$

요약

• 합성함수 $f(g(x))$:

  $$f(g(x)) = \begin{cases} -2 & (|x| > 2) \\ -x^2 + 2 & (|x| \le 2) \end{cases}$$

• 합성함수 $g(f(x))$:

  $$g(f(x)) = \begin{cases} 2 & (x > 2 \text{ 또는 } x < -2) \\ x^2 - 2 & (|x| \le 2) \end{cases}$$

추가 팁

함수의 합성에서 조건을 대입할 때 주의할 점은 함수의 정의역과 조건이 어떻게 변하는지를 정확히 이해하는 것입니다. 각 함수의 조건을 대입할 때, 내부 함수의 결과가 외부 함수의 조건에 어떻게 영향을 미치는지 잘 분석해야 합니다. 그래프를 그려보는 것도 함수의 합성을 이해하는 데 큰 도움이 됩니다.

필요하신 부분이나 추가로 궁금한 점이 있으면 언제든지 질문해 주세요!