Уравнение с минимумом функции

Erklärung des Problems

Ich schreibe, wie ich das Problem angehe und h(x) als Minimum von f(t) für t < x finde. Dann setze ich h(x) in die Gleichung ein und löse sie nach x auf.

Aktualisieren des Niederschlagsmodells

Ich schaue mir das Niederschlagsmodell H(x) an, das den minimalen Wert f(t) für t < x findet. Das Polynom f(t) = t^2 - t hat seinen Tiefpunkt bei t = 1/2. Daher ist das Minimum f(1/2) = -1/4.

Analyzing Funktionen

Ich denke darüber nach, wie sich die Funktion $f(t)$ verhält, wenn $t$ geringfügig kleiner als $x$ ist sowie nahe bei 0,5.

Analysemöglichkeiten erkunden

Ich betrachte die Funktion f(t) im Bereich x <= 0.5 und sehe, dass f(t) bei t < x < 1/2 abnimmt, aber bei t approaching negative infinity steigt, was zu einer unendlichen Steigung führt.

Analyseren des Funktionsverlaufs

Ich schaue mir den Funktionsverlauf von $f(t) = t^2 - t$ an. Bei $t < 0$ nimmt der Funktionswert zunächst zu, erreicht einen Minimumpunkt bei $t = 0.5$ und steigt dann wieder an.

Analyzing Minima

Ich schaue mir an, dass f(t) für t <= 0.5 fällt und bei t = x ein Minimum erreicht, wo f(x) = f(x-), dank der Kontinuität von f.

Anpassen der Funktion

Ich schaue mir h(x) an und stelle fest, dass sie für x <= 0.5 gleich f(x) ist und für x >= 0.5 den Wert -0.25 hat.

Aufstellen und lösen

Ich untersuche zwei Fälle getrennt und stelle eine Gleichung auf, um den Umfang eines Rechtecks zu bestimmen. Dann überprüfe ich sie, um herauszufinden, ob reale Lösungen vorhanden sind.

Korrigieren der Gleichung
Mit x = 2x^2 - 3x - 6 und h(x) = -0.25, berechne ich die Diskrepanz. Jetzt schaue ich, welcher Wert passt.

To solve the equation $2x^2 - 3x - 6 = 4h(x)$ where $h(x)$ is the minimum value of $f(t) = t^2 - t$ for $t < x$, we need to find $h(x)$ as a function of $x$ and then solve for $x$.

Step 1: Understand $h(x)$ Given $f(t) = t^2 - t$, it's a quadratic function opening upwards with its vertex (minimum point) at $t = \frac{1}{2}$. The minimum value of $f(t)$ is $f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$.

We consider two cases based on the value of $x$:

1. Case 1: $x \leq \frac{1}{2}$

   • For $t < x \leq \frac{1}{2}$, $t$ is less than $\frac{1}{2}$.
   • Since $f(t)$ decreases as $t$ approaches $\frac{1}{2}$ from below, the minimum of $f(t)$ in this interval is at $t = x$.
   • Therefore, $h(x) = f(x) = x^2 - x$.

2. Case 2: $x \geq \frac{1}{2}$

   • For $t < x$, $t$ can reach $\frac{1}{2}$.
   • Since $f(t)$ attains its minimum at $t = \frac{1}{2}$, the minimum value is constant.
   • Therefore, $h(x) = -\frac{1}{4}$.

Step 2: Solve the Equation for Each Case

Case 1: $x \leq \frac{1}{2}$

• Substitute $h(x) = x^2 - x$: $2x^2 - 3x - 6 = 4(x^2 - x)$
• Simplify: $2x^2 - 3x - 6 = 4x^2 - 4x$ $-2x^2 + x - 6 = 0$
• Solve the quadratic equation: $2x^2 - x + 6 = 0$
• The discriminant $D = (-1)^2 - 4(2)(6) = -47$ is negative.
• No real solutions in this case.

Case 2: $x \geq \frac{1}{2}$

• Substitute $h(x) = -\frac{1}{4}$: $2x^2 - 3x - 6 = 4\left(-\frac{1}{4}\right)$ $2x^2 - 3x - 6 = -1$ $2x^2 - 3x - 5 = 0$
• Solve the quadratic equation:
  • Discriminant $D = (-3)^2 - 4(2)(-5) = 49$
  • Roots: $x = \frac{3 \pm 7}{4}$
• Possible solutions:
  • $x = \frac{10}{4} = 2.5$
  • $x = \frac{-4}{4} = -1$
• Since $x \geq \frac{1}{2}$, only $x = 2.5$ is valid.

Answer: $x = 2.5$