Площадь треугольника KBD

Feststellen von Dreiecksflächen

Ich überlege die Flächen des Dreiecks, indem ich die Längen der Seiten AB und AD eines Rechtecks, die 16 bzw. 27 sind, betrachte. М ist der Mittelpunkt von CD, und К liegt auf der Planebene, sodass A der Mittelpunkt von KM ist.

Identificación de la ubicación

Estoy dibujando un rectángulo ABCD y colocándolo en un sistema de coordenadas. Luego, determino la ubicación de M como el punto medio de CD y calculo la ubicación de K reflejando M sobre A, dado que A es el punto medio de K y M.

Berechnen der Fläche eines Dreiecks

Ich entdecke die Koordinaten von Punkt K, indem ich die Durchschnittswerte der Koordinaten von Punkten K und M nehme. Anschließend verwende ich die Formel des Schoßsenkeltheorems, um die Fläche des Dreiecks KBD zu berechnen.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Зададим систему координат:

• Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0, 0)$.
• Так как $AB = 16$ и $AD = 27$, то точки:
  • $B(16, 0)$
  • $D(0, 27)$
  • $C(16, 27)$

2. Найдем координаты точки $M$:

• $M$ — середина отрезка $CD$.
• $C(16, 27)$ и $D(0, 27)$, поэтому:
  • $M_x = \frac{16 + 0}{2} = 8$
  • $M_y = \frac{27 + 27}{2} = 27$
• Значит, $M(8, 27)$.

3. Найдем координаты точки $K$:

• Точка $A$ — середина отрезка $KM$.
• Пусть координаты точки $K(x, y)$.
• По формуле середины отрезка:
  • $A_x = \frac{K_x + M_x}{2} \Rightarrow 0 = \frac{x + 8}{2} \Rightarrow x = -8$
  • $A_y = \frac{K_y + M_y}{2} \Rightarrow 0 = \frac{y + 27}{2} \Rightarrow y = -27$
• Значит, $K(-8, -27)$.

4. Вычислим площадь треугольника $KBD$ с координатами:

• $K(-8, -27)$
• $B(16, 0)$
• $D(0, 27)$

5. Используем формулу площади треугольника на координатной плоскости (формула шнурка):

Подставим значения:

Вычислим:

Ответ:

$\boxed{540}$

Formuliere die Hypothese über die Körperhöhendurchmesser von Nadelplättchen, auch bekannt als Kacheln. Stelle die These auf, dass sie gleich sind und berechne den Flächeninhalt eines Dreiecks KBD.

direktion analysieren

Die Orientierung des Rechtecks in der Lösung stimmt nicht mit der angegebenen Position überein. Das Rechteck müsste in die andere Richtung rotiert werden, um dem Benutzerfeedback zu entsprechen.

Reorientierung des Rahmens

Ich denke darüber nach, wie man das Rechteck drehen könnte, um die Seiten in Einklang mit den Achsen zu bringen.

Platzierung der Punkte

Ich platziere Punkt A bei (0, 0) und finde, dass Punkt C bei (27, 16) liegt, da er gegenüber A liegt.

Berechnung des Midpoints

Ich berechne den Mittelpunkt M von Seite CD, der sich bei (27, 8) befindet.

Bestimmung von Punkt K

Ich bestimme Punkt K, sodass A der Mittelpunkt von KM ist. K hat die Koordinaten (-27, -8).

Berechnung des Dreiecks

Jetzt schaue ich mir die Fläche des Dreiecks KBD an, unter Verwendung der Koordinaten der Punkte K, B und D.

Anordnen der Punkte

Ich denke darüber nach, wie die Punkte K, B und D in aufeinanderfolgender Reihenfolge für die Anwendung der Schnürsenkelformel gelistet werden sollten, um die Fläche zu berechnen.

Berechnung der Fläche

Ich verwende die Formel Shoelace, ersetze die Koordinaten der Punkte ein und finde die Fläche, indem ich die Terme summiere und durch 2 teile. Das ergibt eine Fläche von 540.

Вы правы, прошу прощения за неточность в выборе координатной системы. Давайте пересчитаем задачу с учетом ваших замечаний.

1. Зададим систему координат согласно вашим указаниям:

• Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0, 0)$.
• Сторона $AB = 16$ идет вдоль оси $y$, так что точка $B(0, 16)$.
• Сторона $AD = 27$ идет вдоль оси $x$, так что точка $D(27, 0)$.
• Тогда точка $C$ имеет координаты $(27, 16)$.

2. Найдем координаты точки $M$:

• $M$ — середина отрезка $CD$.
• Точки $C(27, 16)$ и $D(27, 0)$.
• Поэтому:
  • $M_x = \frac{27 + 27}{2} = 27$
  • $M_y = \frac{16 + 0}{2} = 8$
• Значит, $M(27, 8)$.

3. Найдем координаты точки $K$:

• Точка $A(0, 0)$ — середина отрезка $KM$.
• Пусть координаты точки $K(x, y)$.
• По формуле середины отрезка:
  • $A_x = \frac{K_x + M_x}{2} \Rightarrow 0 = \frac{x + 27}{2} \Rightarrow x = -27$
  • $A_y = \frac{K_y + M_y}{2} \Rightarrow 0 = \frac{y + 8}{2} \Rightarrow y = -8$
• Значит, $K(-27, -8)$.

4. Вычислим площадь треугольника $KBD$:

• Точки:
  • $K(-27, -8)$
  • $B(0, 16)$
  • $D(27, 0)$

5. Используем формулу площади треугольника на координатной плоскости (формула шнурка):

Подставим значения:

Вычислим каждое слагаемое:

1. $(-27)(16 - 0) = (-27)(16) = -432$
2. $0(0 - (-8)) = 0 \times 8 = 0$
3. $27(-8 - 16) = 27 \times (-24) = -648$

Суммируем:

Берем модуль и делим на 2:

Ответ:

$\boxed{540}$

Analyzierung der Bedingungen

Ich schaue mir das Problem an: Ein einfaches p-teiziges Ziffern p^k muss für Zahlen 10a + 3b und a + 8b gelten, entweder beide durch p teilbar oder beide nicht.

Ermittlung von Bedingungen

Schon die Klarstellung, dass p für alle ganzzahligen a und b entweder beide Zahlen 10a + 3b und a + 8b teilt oder beide nicht teilt, öffnet den Weg zur Identifikation geeigneter Primzahlen.

Durchdenken von Bedingungen

Ich denke darüber nach, wie die Teilbarkeit von 10a + 3b mod p und a + 8b mod p für alle Ganzzahlen a und b gilt. Es zeigt sich, dass beide Ausdrücke für alle Primzahlen p gelten.

Einschränkungen ermitteln

Ich überlege, dass die Bedingungen f(a,b) = 0 mod p und g(a,b) = 0 mod p deckungsgleich sind, wenn für alle a und b gilt. Jetzt schaue ich nach, welche Primzahlen p dieses verursachen.

Verhältnis der Mengen

Ich schaue mir die Mengengleichheit von S und T an. Dazu betrachte ich die Nullstellen linearer Funktionen modulo p, wo p eine Primzahl ist.

Überprüfen von Modulo-Bedingungen

Ich schaue mir die Funktionen f(a,b) = 10a + 3b (mod p) und g(a,b) = a + 8b (mod p) an. Interessanterweise sind f(a,b) und g(a,b) proportional modulo p.

Substituieren und analysieren

Ich substituiere λ ≡ 10 mod p in die zweite Gleichung und analysiere, ob p=7 oder p=11 entspricht.

Überprüfen von Bedingungen

Ich schaue mir an, ob die Gleichung für p=7 und p=11 passt, indem ich λ mod p und 8*λ mod p prüfe. Beide Bedingungen erfüllen tatsächlich.

Давайте найдем все простые числа $p$, удовлетворяющие условию:

Для любых целых чисел $a$ и $b$ числа $10a + 3b$ и $a + 8b$ либо оба делятся на $p$, либо оба не делятся на $p$.

Шаг 1: Поймем, что означает условие

Это условие эквивалентно следующему:

Для всех целых чисел $a$ и $b$.

Шаг 2: Найдем связь между уравнениями

Чтобы это условие выполнялось для всех $a$ и $b$, линейные формы должны быть пропорциональны модулю $p$:

Где $k$ — некоторое число по модулю $p$.

Шаг 3: Выразим коэффициенты и приравняем их

Разложим и приравняем коэффициенты при $a$ и $b$:

1. При $a$:

2. При $b$:

Подставим $k \equiv 10$:

Перепишем это как:

Шаг 4: Найдем возможные значения $p$

Получили, что $p$ делит 77. Простые делители числа 77:

• $p = 7$
• $p = 11$

Шаг 5: Проверим каждое значение $p$

Для $p = 7$:

• $k \equiv 10 \mod 7 \Rightarrow k \equiv 3 \mod 7$
• Проверим $3 \equiv 8k \mod 7$: $$8 \times 3 = 24 \\ 24 \mod 7 = 3 \\ 3 \equiv 3 \mod 7 \quad \text{(верно)}$$

Для $p = 11$:

• $k \equiv 10 \mod 11 \Rightarrow k \equiv 10 \mod 11$
• Проверим $3 \equiv 8k \mod 11$: $$8 \times 10 = 80 \\ 80 \mod 11 = 3 \\ 3 \equiv 3 \mod 11 \quad \text{(верно)}$$

Ответ:

$\boxed{7}$

$\boxed{11}$