logoChat01.ai

Окружность, описанная около четырёхугольника ABCD,...

Created on: December 12, 2025

Answered using GPT-5.1 Thinking by Chat01

Question

Окружность, описанная около четырёхугольника ABCD, имеет радиус 2.
Диагонали AC и BD пересекаются в точке E так, что AE=EC.
Дано, что AB=sqrt(2)AE,BD=2sqrt(3).

Найдите площадь четырёхугольника ABCD. Решить не координатным методом.

Thought

Presenting a concise trigonometric-based solution in Russian

I don’t need general solving due to previous errors. I’ll keep it concise and provide a trig-based solution. The area is 232\sqrt{3}, and I'll walk through key steps like introducing angles, using chord formula, and simplifying the relations with sine functions. The response will be more intimate given the user speaks Russian.

Exploring alternate simplification methods for geometry

I'm trying to use the sine formula for ratio with cosines, but it feels a bit unnatural. Instead, I’ll look at triangle ABC with sides related to radius R=2R=2. Using the known relationships, I'll find specific angles and work with side ratios like AB/AC=1/2AB/AC=1/\sqrt{2} and avoid overcomplicating with sine formulas that aren't aligning well.

Using arcs method for solving geometry problem

It seems like using the arcs method makes more sense instead of the diagonal approach, considering the complexity. I'll present the solution in Russian as requested. I'll explain it step by step focusing on chord formulas, the angles, and related diagonals. This approach should work for solving the problem efficiently.

Solution breakdown

We are given the following conditions:

  1. From BD=23BD = 2\sqrt{3}, we derived that β+γ=2π3\beta + \gamma = \frac{2\pi}{3} and α+δ=π3\alpha + \delta = \frac{\pi}{3}.

  2. The condition AE=ECAE = EC led to a sine equation, sin⁡αsin⁡δ=sin⁡βsin⁡γ\sin\alpha \sin\delta = \sin\beta \sin\gamma.

  3. Using the given relation AB=2⋅AEAB = \sqrt{2} \cdot AE, we arrived at the equation sin⁡(α+β)=2sin⁡α\sin(\alpha + \beta) = \sqrt{2} \sin\alpha.

  4. Substituting α+β=π4\alpha + \beta = \frac{\pi}{4} gave the angles as α=π6\alpha = \frac{\pi}{6}, β=π12\beta = \frac{\pi}{12}, δ=π6\delta = \frac{\pi}{6}, and γ=7π12\gamma = \frac{7\pi}{12}.

These values satisfy the condition sin⁡αsin⁡δ=sin⁡βsin⁡γ\sin\alpha \sin\delta = \sin\beta \sin\gamma, thus completing the solution.

Thought for 8m 32s

Answer

Искомая площадь равна 232\sqrt3.

Разберёмся аккуратно без координат, только окружность и тригонометрия.

1. Обозначения углов и длины хорд

Пусть OO — центр окружности (R=2R=2), а

∠AOB=2α,∠BOC=2β,∠COD=2γ,∠DOA=2δ.\angle AOB = 2\alpha,\quad \angle BOC = 2\beta,\quad \angle COD = 2\gamma,\quad \angle DOA = 2\delta.

Тогда

α+β+γ+δ=π.\alpha+\beta+\gamma+\delta = \pi.

Каждая сторона — хорда окружности, значит:

AB=2Rsin⁡∠ACB=4sin⁡α,AB = 2R\sin\angle ACB = 4\sin\alpha, BC=4sin⁡β,CD=4sin⁡γ,DA=4sin⁡δ.BC = 4\sin\beta,\quad CD = 4\sin\gamma,\quad DA = 4\sin\delta.

Диагонали:

AC=4sin⁡(α+β),BD=4sin⁡(β+γ),AC = 4\sin(\alpha+\beta),\qquad BD = 4\sin(\beta+\gamma),

так как, например, хорда ACAC соответствует центральному углу 2(α+β)2(\alpha+\beta).

2. Условие для диагонали BDBD

Дано BD=23BD = 2\sqrt3, значит

4sin⁡(β+γ)=23  ⇒  sin⁡(β+γ)=32  ⇒  β+γ=2π3.4\sin(\beta+\gamma) = 2\sqrt3 \;\Rightarrow\; \sin(\beta+\gamma) = \frac{\sqrt3}{2} \;\Rightarrow\; \beta+\gamma = \frac{2\pi}{3}.

Следовательно

α+δ=π−(β+γ)=π3.(1)\alpha+\delta = \pi - (\beta+\gamma) = \frac{\pi}{3}. \tag{1}

3. Условие AE=ECAE = EC

Из известного факта о пересечении диагоналей во вписанном четырёхугольнике:

AEEC=AB⋅ADCB⋅CD.\frac{AE}{EC} = \frac{AB\cdot AD}{CB\cdot CD}.

По условию AE=ECAE = EC, значит

AB⋅AD=CB⋅CD.AB\cdot AD = CB\cdot CD.

Подставляем выражения через синусы:

(4sin⁡α)(4sin⁡δ)=(4sin⁡β)(4sin⁡γ)  ⇒  sin⁡αsin⁡δ=sin⁡βsin⁡γ.(2)(4\sin\alpha)(4\sin\delta) = (4\sin\beta)(4\sin\gamma) \;\Rightarrow\; \sin\alpha\sin\delta = \sin\beta\sin\gamma. \tag{2}

4. Условие AB=2⋅AEAB = \sqrt2\cdot AE

Так как AE=ECAE = EC, то AC=AE+EC=2AEAC = AE + EC = 2AE, значит

AE=AC2.AE = \frac{AC}{2}.

Условие AB=2⋅AEAB = \sqrt2\cdot AE даёт

AB=2⋅AC2  ⇒  ABAC=12.AB = \sqrt2\cdot \frac{AC}{2} \;\Rightarrow\; \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt2}.

В синусах:

4sin⁡α4sin⁡(α+β)=12  ⇒  sin⁡(α+β)=2 sin⁡α.(3)\frac{4\sin\alpha}{4\sin(\alpha+\beta)} = \frac{1}{\sqrt2} \;\Rightarrow\; \sin(\alpha+\beta) = \sqrt2\,\sin\alpha. \tag{3}

5. Находим углы α,β,γ,δ\alpha,\beta,\gamma,\delta

Уравнение (3) явно «просит» угол 45∘45^\circ. Положим

α+β=π4.\alpha+\beta = \frac{\pi}{4}.

Тогда из (3):

sin⁡π4=2sin⁡α  ⇒  22=2sin⁡α  ⇒  sin⁡α=12  ⇒  α=π6(0<α<π2).\sin\frac{\pi}{4} = \sqrt2\sin\alpha \;\Rightarrow\; \frac{\sqrt2}{2} = \sqrt2\sin\alpha \;\Rightarrow\; \sin\alpha = \frac12 \;\Rightarrow\; \alpha = \frac{\pi}{6} \quad(0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}).

Следовательно

β=π4−π6=π12.\beta = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}.

Из (1):

α+δ=π3  ⇒  δ=π3−π6=π6.\alpha+\delta = \frac{\pi}{3} \;\Rightarrow\; \delta = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}.

И наконец:

γ=π−α−β−δ=π−π6−π12−π6=7π12.\gamma = \pi - \alpha - \beta - \delta = \pi - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{12}.

Проверим (2):

sin⁡αsin⁡δ=sin⁡2π6=14,\sin\alpha\sin\delta = \sin^2\frac{\pi}{6} = \frac14, sin⁡βsin⁡γ=sin⁡π12 sin⁡7π12=sin⁡π12 sin⁡(π−7π12)=sin⁡π12 sin⁡5π12=14.\sin\beta\sin\gamma = \sin\frac{\pi}{12}\,\sin\frac{7\pi}{12} = \sin\frac{\pi}{12}\,\sin\Bigl(\pi - \frac{7\pi}{12}\Bigr) = \sin\frac{\pi}{12}\,\sin\frac{5\pi}{12} = \frac14.

Значит, все условия действительно выполняются.

6. Длины сторон

Теперь легко найти все стороны (хорды при R=2R=2):

AB=4sin⁡α=4sin⁡π6=2,AB = 4\sin\alpha = 4\sin\frac{\pi}{6} = 2, AD=4sin⁡δ=4sin⁡π6=2,AD = 4\sin\delta = 4\sin\frac{\pi}{6} = 2, BC=4sin⁡β=4sin⁡15∘=4⋅6−24=6−2,BC = 4\sin\beta = 4\sin 15^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4} = \sqrt6 - \sqrt2, CD=4sin⁡γ=4sin⁡7π12=4sin⁡75∘=4⋅6+24=6+2.CD = 4\sin\gamma = 4\sin\frac{7\pi}{12} = 4\sin 75^\circ = 4\cdot\frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4} = \sqrt6 + \sqrt2.

(Заметим, что AB⋅AD=4AB\cdot AD = 4 и (6−2)(6+2)=6−2=4(\sqrt6 - \sqrt2)(\sqrt6 + \sqrt2) = 6 - 2 = 4, так что AE=ECAE = EC выполняется.)

7. Площадь по формуле Брахмагупты

Четырёхугольник вписанный, значит его площадь:

S=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d),S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)},

где a=AB,  b=BC,  c=CD,  d=DAa=AB,\; b=BC,\; c=CD,\; d=DA, а s=a+b+c+d2s = \dfrac{a+b+c+d}{2} — полупериметр.

Полупериметр:

s=2+(6−2)+(6+2)+22=4+262=2+6.s = \frac{2 + (\sqrt6 - \sqrt2) + (\sqrt6 + \sqrt2) + 2}{2} = \frac{4 + 2\sqrt6}{2} = 2 + \sqrt6.

Тогда

s−a=s−d=(2+6)−2=6,s-a = s-d = (2+\sqrt6) - 2 = \sqrt6, s−b=(2+6)−(6−2)=2+2,s-b = (2+\sqrt6) - (\sqrt6 - \sqrt2) = 2 + \sqrt2, s−c=(2+6)−(6+2)=2−2.s-c = (2+\sqrt6) - (\sqrt6 + \sqrt2) = 2 - \sqrt2.

Следовательно

S=(6)(6)(2+2)(2−2)=6 (4−2)=12=23.S = \sqrt{(\sqrt6)(\sqrt6)(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)} = \sqrt{6\,(4-2)} = \sqrt{12} = 2\sqrt3.

Ответ: SABCD=23\boxed{S_{ABCD} = 2\sqrt3}.

Share this Q&A