Ускорение центра масс

Übersetzung und Übersicht

Zuerst übersetze ich das Problem aus dem Russischen. Es scheint, dass das Ziel darin besteht, die Beschleunigung des Massenschwerpunktes eines Systems von Lasten zu finden, das auf einer festen, glatten Keilbahn liegt.

Untersuchung der Beschleunigung

Die Massen m1 und m2 auf der schrägen Fläche schaffen eine Verbindung über das Seil, was ihre Beschleunigungen miteinander verknüpft und ihre Bewegungen beeinflusst.

Über verschiedene Bewegungen nachdenken

Ich analysiere die Bewegungen von m1 und m2 auf ihren schräge Flächen und wie ihre Beschleunigungen durch das seil miteinander verbunden sind.

Festlegung der Kräfte

Ich schaue mir die Bewegung entlang der Neigen an und definiere die positiven Richtungen als nach unten.

Über die Bewegung aufklären

Wenn m1 den Pulley hinunterfährt, bewegt sich m2 entsprechend nach oben, entgegen der definierten Richtung, und sie haben entgegengesetzte Beschleunigungen.

Ableitungen und Vereinfachungen

Ich gehe die verschiedenen Massen und Kräfte durch, um die Gleichungen zu vereinfachen. Schließlich erhalte ich die Beschleunigung a1 in Bezug auf die Höhenwinkel α und β.

Berechnung der Beschleunigung

Ich berechne die Beschleunigung von m1, indem ich die Kräfte entlang der Achsen analysiere und die Masse des Systems verwende.

Analyzieren des Systems

Ich denke darüber nach, die Beschleunigung des Systems zu berechnen, indem ich die Beschleunigungen der Massen entlang der Ebenen summiere.

Berechne die Beschleunigungen

Ich denke darüber nach, wie die Beschleunigungen beider Massen vektoriell addiert werden, gewichtet nach ihren Massen und durch die Gesamtmasse geteilt, um die Beschleunigung des Schwerpunkts zu finden.

Berechnung der Beschleunigungskomponenten

Ich berechne die Beschleunigungskomponenten $a_{1x}$ und $a_{1y}$ für $m_1$ und $a_{2x}$ und $a_{2y}$ für $m_2$ unter Berücksichtigung der jeweiligen Winkel $\alpha$ und $\beta$. Es ergibt sich eine positive x-Richtung und eine negative y-Richtung für $m_1$, während $m_2$ eine negative Beschleunigung entlang seiner Neigung aufweist. Signen werden entsprechend den Winkeln berechnet.

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Запишем силы, действующие на грузы вдоль наклонных плоскостей.

Для груза $m_1$ на наклонной плоскости с углом $\alpha = 30^\circ$:

$m_1 a_1 = m_1 g \sin \alpha - T$

Для груза $m_2$ на наклонной плоскости с углом $\beta = 60^\circ$:

$m_2 a_2 = m_2 g \sin \beta - T$

Поскольку нить нерастяжимая и проходит через блок, ускорения связаны соотношением $a_1 = -a_2$.

2. Выразим силы натяжения и ускорения.

Суммируя уравнения:

$m_1 a_1 + m_2 a_1 = m_1 g \sin \alpha - m_2 g \sin \beta$

Выразим общее ускорение $a_1$:

$a_1 = \frac{m_1 g \sin \alpha - m_2 g \sin \beta}{m_1 + m_2}$

3. Подставим численные значения.

$\sin 30^\circ = 0{,}5$ $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660$

$a_1 = \frac{4 \times 10 \times 0{,}5 - 1 \times 10 \times 0{,}8660}{4 + 1} = \frac{20 - 8{,}660}{5} = \frac{11{,}340}{5} = 2{,}268 \, \text{м/с}^2$

Ускорение груза $m_2$:

$a_2 = -a_1 = -2{,}268 \, \text{м/с}^2$

4. Найдем компоненты ускорений вдоль осей.

Для груза $m_1$:

$a_{1x} = a_1 \sin \alpha = 2{,}268 \times 0{,}5 = 1{,}134 \, \text{м/с}^2$ $a_{1y} = -a_1 \cos \alpha = -2{,}268 \times 0{,}8660 = -1{,}962 \, \text{м/с}^2$

Для груза $m_2$:

$a_{2x} = a_2 \sin \beta = -2{,}268 \times 0{,}8660 = -1{,}962 \, \text{м/с}^2$ $a_{2y} = -a_2 \cos \beta = -(-2{,}268) \times 0{,}5 = 1{,}134 \, \text{м/с}^2$

5. Вычислим ускорение центра масс.

Компоненты ускорения центра масс:

$a_{\text{см}_x} = \frac{m_1 a_{1x} + m_2 a_{2x}}{m_1 + m_2} = \frac{4 \times 1{,}134 + 1 \times (-1{,}962)}{5} = 0{,}5148 \, \text{м/с}^2$

$a_{\text{см}_y} = \frac{m_1 a_{1y} + m_2 a_{2y}}{m_1 + m_2} = \frac{4 \times (-1{,}962) + 1 \times 1{,}134}{5} = -1{,}7964 \, \text{м/с}^2$

6. Найдем модуль ускорения центра масс.

$a_{\text{см}} = \sqrt{a_{\text{см}_x}^2 + a_{\text{см}_y}^2} = \sqrt{(0{,}5148)^2 + (-1{,}7964)^2} \approx 1{,}87 \, \text{м/с}^2$

Ответ:

$1{,}87$ м/с²