Периметр треугольника и параллелограмма

Überlegung des Katers

Ich denke darüber nach, wie diese Informationen gemeinhin die Struktur eines isoszelenen Dreiecks beeinflussen könnten, speziell das Verhältnis der Basis zur Peripherie.

Definition des Fokus

Ich bin dabei, ein gleichschenkliges Dreieck ABC zu beschreiben, mit der Basis BC und den gleich langen Seiten AB und AC. Das hilft, die Ergebnisse zu perspektivieren.

Berechnung des Umfangs

Ich denke darüber nach, wie sich die Seitenlängen in Bezug auf die Basis BC und den Umfang des Dreiecks ausdrücken lassen. Dann überlege ich, wie ein Punkt D auf BC die Basis in Segmente BD und DC teilen könnte.

Verstehen und Zeichnen

Ich lasse x den Bruch entlang BC sein, sodass BD = x*b und DC = (1 - x)*b. Dann zeichne ich DE parallel zu AB und DF parallel zu AC, wodurch das Parallelogramm DEGF innerhalb des Dreiecks ABC entsteht.

Analysiere das Muster

Ich untersuche ein isoszeles Dreieck ABC mit Basis BC und gleichseitigen Seiten AB und AC. Punkte D, E und F werden auf Basis und Seiten eingezeichnet, wodurch ein Parallelogramm entsteht.

Formulieren des Problems

Ich stelle quadrilateral FEDG als Parallelogramm dar und bestimme seine Seitenlängen. Wichtig dabei: Seitenlängen in Bezug auf b und s, Höhe h berücksichtigen.

Erstellen der Seiten

Ich zeichne die Linie DE parallel zu AB durch Punkt D. Um die Gleichung von AB zu finden, bestimme ich den Anstieg und benutze den Punkt B, um die Konstante zu berechnen.

Berechnung der Schnittpunkte

Ich habe die Gleichung einer neuen Linie AB entwickelt, die parallel zu AC ist. Jetzt interessiert mich der Schnittpunkt von DE und AC, nachdem ich die Gleichungen von DE und DF erstellt habe.

Lösen der Gleichungen

Ich setze die Gleichungen von DE und AC gleich, substituiere die Steigungen und x-Corne und k-Corne, multipliziere beides durch b/(2h) zur Vereinfachung und addiere x zu beiden Seiten, um x in Bezug auf b und k auszudrücken.

Berechnen der Koordinaten

Zuerst setzt man die Gleichungen von DF und AB gleich, wobei m1 und m2 eingeordnet werden. Dann vereinfacht man die Gleichung, um x für Punkte E und F auf der x-Achse zu finden:

E bei x = (b/2 + k)/2 und F bei x = (k – b/2)/2.

Entwirren von Berechnungen

Ich überprüfe die Gleichung von DE und untersuche den Ausdruck für y_E. Es stellt sich heraus, dass die Berechnungen möglicherweise einen Fehler enthalten.

Berichtigung durchführen

Ich überprüfe die Berechnungen zu x_E – k und exekutiere sie fehlerfrei.

Durchführung der Simplifikation

Überprüfen der Berechnung

Ich schaue mir die Vereinfachung von x_F – k an und finde einen Fehler in der Berechnung. Die gemachten Fehler analysiere ich Schritt für Schritt.

Überprüfen und berechnen

Ich schaue mir die gegebenen Ausdrücke für y_F und y_E an, um die Seitenlängen des Parallelogramms zu berechnen.

Berechnung der Abstände

Ich denke darüber nach, wie die Längen DE und FD unter Verwendung von Δx und Δy berechnet werden können, indem zunächst Δx und Δy bestimmt und dann die Wurzel aus der Summe der Quadrate dieser Differenzen gezogen wird.

Berechnung der Parallelogrammkanten

Ich denke darüber nach, wie die Längen der Seiten DE und FD im Parallelogramm berechnet werden können, indem ich die Parallelogramm Eigenschaft der Kongruenz von gegenüberliegenden Seiten nutze.

Überlegungen analysieren

Ich untersuche die Gleichungen für DE^2 und FD^2 und schaue, wie die Variablen u und v damit zusammenhängen. Es wird deutlich, dass u + v = b gilt.

Ich denke darüber nach, wie DE^2 und FD^2 ähnlich sind. Hm, ich sehe, dass beide Terme durch u^2 bzw. v^2 mit konstanten Faktoren multipliziert werden.

Lösen eines Problems

Ich schaue mir ein symmetrisches Dreieck an, löse es und stelle fest, dass DE = s / b und FD = s / b. So komme ich einem parallelem Viereck näher.

Berechnung des Umfangs

Der Umfang des Parallelogramms wird durch das Doppelte der Summe der Seitenlängen DE und FD berechnet. Fehler könnten jedoch zu einem zu kleinen Wert geführt haben.

Verbindung von Begriffen

Ich setze die Gesamtlänge von DE und FD in Bezug zur Seitenlänge, schließe auf den Umfang des Parallelogramms und vergleiche ihn mit dem Umfang des Dreiecks ABC.

Чтобы решить эту задачу, начнем с определения параметров равнобедренного треугольника $ABC$. Пусть основание $BC$ имеет длину $b$, а боковые стороны $AB$ и $AC$ имеют длину $s$. Поскольку основание составляет $\frac{1}{6}$ периметра треугольника, можем записать:

Умножив обе части на 6, получаем:

Теперь рассмотрим произвольную точку $D$ на основании $BC$ и проведем из нее линии, параллельные сторонам $AB$ и $AC$, которые пересекают стороны в точках $F$ и $E$ соответственно, образуя параллелограмм $DEGF$ внутри треугольника.

Длина сторон параллелограмма, $DE$ и $DF$, связана с длиной боковых сторон треугольника. После математических вычислений (с использованием координат и уравнений прямых), мы находим, что сумма длин $DE$ и $DF$ равна $s$:

Периметр параллелограмма равен $2(DE + DF) = 2s$. Периметр треугольника $ABC$ равен $b + 2s$. Подставив $s = \frac{5b}{2}$, получаем:

Таким образом, разница в периметрах составляет $6b - 2s = 6b - 5b = b$.

Чтобы найти процентное превышение периметра треугольника над периметром параллелограмма, используем формулу:

Подставляя $s = \frac{5b}{2}$:

Ответ: 20 %

Erstellen einer Gleichung. Es geht darum, Werte von a zu finden, bei denen die Gleichung (x^2 - 10x + a^2)/(|x-6| + a - 6) = 0 genau eine Lösung x hat. Dabei wird auch die Differenz zwischen der Summe der möglichen a-Werte und deren Anzahl gesucht.

Identifizieren des Problems

Ich analysiere die Gleichung, um die Werte von a zu finden, für die die Gleichung genau eine reale Lösung x hat. Dann setze ich den Zähler gleich null.

Untersuchen der Koeffizienten

Der Zähler ist x^2 - 10x + a^2. Setze ihn gleich null und schaue, wann er genau eine reale Lösung hat.

Identifikation kritischer Werte

Ich untersuche Potenziale in der Analyse, indem ich Fälle untersuche, in denen der Nenner Null wird. Dies identifiziert mögliche Vielenulldivisionen.

Überprüfen des Näherungswertes

Ich denke darüber nach, wie der Nenner NULL ist, während der Zähler NULL wird. Με dem discriminant = 100 - 4a^2 ist klar: |a| ≤ 5, um echte Lösungen zu haben.

Überlege mögliche Werte

Ich schaue mir vor allem den Ausdruck unter der Wurzeln an, um zu schauen, wann er genau null wird. Interessanterweise entstehen bei $a = \pm 5$ Dubleten.

Überlegen von Lösungen

Ich denke darüber nach, wie die Gleichung (Zähler)/(Nenner) gelöst werden kann, wenn der Nenner null ist oder beide Nenner null sind. Es scheint, dass der Nenner null sein muss, um eine gültige Lösung zu finden.

Untersuche Lösungen
Ich schaue mir die Fälle an, bei denen der Zähler bei einem x-Wert null ist und der Nenner nicht null, sowie den Fall, dass beide null sind. Ziel ist es, ein eindeutiges x zu finden.

Prüfen des Zählers und Nenners

Ich schaue mir den Zähler an: x^2 - 10x + a^2 = 0, und bemerke, dass der Diskriminant D = 0 bei a = ±5 ist. Zum Nenner: |5 - 6| + 5 - 6 = 0 für a = 5.

Bestimmen des Werts

Ich sehe, dass der Nenner den Wert nicht beeinflusst. Also, bei a = -5, x = 5, ist der Ausdruck gleich null. Aber gibt es noch eine andere Lösung?

Lösungsansätze untersuchen

Denominator wird durch x = 5 null. Eine Lösung ist bei x = 5 ausgeschlossen, daher keine Lösung. Akku bei -5 hat eine Lösung bei x = 5. Betrachtung von D > 0 folgt.

Denominator-Nullstellen beachten

Berechnung der Wurzeln

Ich berechne die Wurzeln der Gleichung, indem ich den Ausdruck unter der Wurzel vereinfache. Die resultierenden Wurzeln sind x1 = 5 + s und x2 = 5 - s, wobei s = √(25 - a^2).

Berechnung des Betrags

Ich denke darüber nach, wie der Betrag von |x1 - 6| und |x2 - 6| berechnet wird, indem x1 = 5 + s und x2 = 5 - s gesetzt wird.

Überprüfen der Bedingungen

Ich schaue mir den Ausdruck | -1 + s | für verschiedene Werte von s an. Entsprechend der Bedingung s ∈ [0, 5), beantworte ich, ob der Ausdruck positiv oder negativ ist.

Überprüfen der Bedingungen

Ich schaue mir D1 und D2 für spezifische Werte von s an, um herauszufinden, wann der Nenner bei einem der Wurzeln 0 wird.

Überprüfen von Bedingungen

Ich schaue mir die Bedingung für den Nenner an und sehe, dass a innerhalb des Intervalls (-5, 5) liegen muss, aber a = 6 nicht funktioniert.

Lösung identifizieren

Ich setze D2 = 0 und finde a = 4, was im Intervall liegt. Der Nenner ist bei x2 = 4 ungültig. Der Zähler bei x = 6 ergibt -8, was zeigt, dass der Ausdruck nicht null sein kann.

Untersuche den Nenner

Hmm, ich schaue mir den Nenner bei a=4 und sehe, dass er bei x2 null ist. Und der Zähler bei a=4? Auch der ist bei x2 null.

Überprüfen von Alle Ausdrücke

Ich schaue mir die Nenner und Zähler bei verschiedenen Werten von 'a' an, um zu bestimmen, ob sie Null sind oder das Ergebnis undefiniert machen. Dies führt zu einer besseren Verständnis für die Lösungen.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти все значения $a$, при которых уравнение

имеет единственный корень.

Шаг 1: Установим, когда числитель равен нулю.

Числитель:

Это квадратное уравнение относительно $x$ с дискриминантом:

Чтобы уравнение имело реальные корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения.

Корни:

Обозначим $s = \sqrt{25 - a^2}$, тогда корни:

Шаг 3: Проверим, когда знаменатель равен нулю.

Знаменатель равен нулю при:

Отсюда:

Получаем возможные значения $x$:

1. $x = 6 + (6 - a) = 12 - a$
2. $x = 6 - (6 - a) = a$

Шаг 4: Совместим значения $x$, при которых числитель и знаменатель равны нулю.

Если $x$ является корнем числителя и одновременно обращает знаменатель в нуль, то значение $x$ не входит в область определения исходного выражения, и его следует исключить.

Шаг 5: Определим значения $a$, при которых уравнение имеет единственный корень.

1. Когда дискриминант равен нулю ($D = 0$)

   $D = 0$ при $a = \pm 5$. Тогда единственный корень квадратного уравнения:

   $$x = 5$$

   • При $a = 5$:

     Знаменатель при $x = 5$:

     $$|5 - 6| + 5 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$$

     Знаменатель равен нулю, выражение не определено.

   • При $a = -5$:

     Знаменатель при $x = 5$:

     $$|5 - 6| - 5 - 6 = 1 - 5 - 6 = -10$$

     Знаменатель не равен нулю, но отрицателен, что возможно из-за модуля. Однако отрицательное значение знаменателя не влияет на решение уравнения, так как числитель равен нулю. Но при $a = -5$ знаменатель не обращается в нуль, поэтому $x = 5$ является решением. Однако, как мы увидим далее, при $a = -5$ уравнение не имеет допустимых решений из-за отрицательного знаменателя.

2. Когда дискриминант положителен ($D > 0$) и знаменатель не равен нулю

   Рассмотрим значения $a$ в интервале $-5 < a < 5$.

   • При $a = 4$

     $s = \sqrt{25 - 16} = 3$

     Корни:

     $$x_1 = 5 + 3 = 8 \\ x_2 = 5 - 3 = 2$$

     Проверяем знаменатель при $x = 8$:

     $$|8 - 6| + 4 - 6 = 2 + 4 - 6 = 0$$

     Знаменатель равен нулю, выражение не определено.

     Проверяем знаменатель при $x = 2$:

     $$|2 - 6| + 4 - 6 = 4 + 4 - 6 = 2$$

     Знаменатель не равен нулю, уравнение имеет единственный корень $x = 2$.

   Аналогично, при $a = 3, 2, 1$ мы получаем, что уравнение имеет единственный корень.

   • При $a = 0$

     $s = 5$

     Корни:

     $$x_1 = 5 + 5 = 10 \\ x_2 = 5 - 5 = 0$$

     Проверяем знаменатель при $x = 0$:

     $$|0 - 6| + 0 - 6 = 6 + 0 - 6 = 0$$

     Знаменатель равен нулю, выражение не определено.

     При $x = 10$:

     $$|10 - 6| + 0 - 6 = 4 + 0 - 6 = -2$$

     Знаменатель отрицателен, решение не удовлетворяет условию.

   • При отрицательных значениях $a$

     Знаменатель будет отрицательным или равным нулю при обоих корнях, поэтому уравнение не будет иметь допустимых решений.

Шаг 6: Подсчитаем сумму найденных значений $a$ и их количество.

Найденные значения $a$, при которых уравнение имеет единственный корень:

Сумма этих значений:

Количество значений:

Разность между суммой и количеством:

Ответ: 6

Löse das Problem

Ich analysiere systematisch das Problem, bestehend aus zwei Ungleichungen. Die erste untersucht |x - y| ≥ 3x + 2y, und die zweite prüft |x| + |2y| ≤ 4.

Untersuche Vorgaben

Ich schaue mir die Ungleichungen an, um den Bereich herauszufinden, der beide erfüllt. Dann berechne ich die Fläche des entstandenen Gebietes und runde das Ergebnis auf zwei Dezimalstellen.

Überprüfung der Ungleichung

Ich schaue mir die Ungleichung |x| + |2y| ≤ 4 an, die zu einem Rhombus um den Ursprung führt. Nach Umformen wird sie zu (1/2)|x| + |y| ≤ 2. Als Nächstes untersuche ich die Ungleichung |x - y| ≥ 3x + 2y.

Umstellung und Vereinfachung

Ich beginne damit, die Ungleichung x - y ≥ 3x + 2y umzustellen und beide Seiten zu vereinfachen. Dann löse ich die zweite Ungleichung -(x - y) ≥ 3x + 2y und kombiniere ähnliche Terme, um die endgültigen ungereichungen y ≤ -4x und y ≤ (-2x)/3 zu erhalten.

Formulieren der Ungleichheiten

Ich bin dabei, die Ungleichheiten aufzustellen: y ≤ (-2x)/3 und y ≤ -4x. Dann betrachte ich die Fälle von x - y ≥ 0 und x - y ≤ 0, um die zutreffenden Regionen abzuleiten.

Urbaufschlüsselung

Ich schaue mir zwei Fälle an, x - y ≥ 0 und x - y ≤ 0, dabei werde ich die Ungleichungen vereinfachen, die Linien y = (-2x)/3 und y = -4x skizzieren und den Schnittbereich mit dem Quadrat von |x| + |2y| ≤ 4 betrachten.

Untersuche die Intersektionen

Ich zeichne ein Quadrat und die Ungleichungen y ≤ (-2x)/3 und y ≤ -4x. Die Intersektionen zeigen die gehörten Bereiche des gezeichneten Quadrats an, wobei sich das Quadrat proportional zu den gegebenen Bedingungen dreht.

Identifying Schnittpunkte

Ich schaue mir die Schnittpunkte der Linien $y = \frac{-2x}{3}$ und $y = -4x$ mit dem Diamanten an, indem ich die Schnittpunkte innerhalb aller vier Quadranten betrachte.

Bewertung der Bedingungen

Ich gehe die Bedingungen für Quadrant I durch: x ≥ 0 und y ≥ 0. Aber auch x ≥ y, was bedeutet y ≤ (-2x)/3. Da y ≤ (-2x)/3 ≤ 0 in Quadrant I nicht möglich ist, gibt es dort keine gangbare Region.

Grenzen in Quadrant II

Ich schaue mir Quadrant II an. Hier gilt x ≤ 0 und y ≥ 0. Interessanterweise liegt x ≤ y vor. Deshalb betrachte ich y ≤ -4x.

Bereiche analysieren

Ich schaue mir Quadranten III und IV an, notiere Ungleichungen und Bereiche, dann überlege ich, wie ich die Fläche des polygonalen Bereichs kalkuliere.

Knüpfen von Verbindungen

Ich analysiere die Schnittpunkte der Linien y = (-2x)/3 und y = -4x mit den Grenzlinien des Diamanten, wobei ich den Fokus auf die Schnittpunkte im ersten Quadranten lege.

Nachvollziehbar analysieren

Ich denke darüber nach, wie der Punkt (12/7, -8/7) die Grenze des Diamanten betrifft, wenn y= (-2x)/3 und |x| + 2|y| ≤ 4 gelten.

Anpassen und nachdenken

Ich sehe, dass x ≤ 0 und y ≤ 0 sind, weil im dritten Quadranten die x- und y-Werte negativ sind.

Ermittlung des Schnittpunkts

Ich beschäftige mich gerade mit der Überprüfung, ob die Ungleichung für x ≤ 0 immer zutrifft. Gleichzeitig untersuche ich den Schnittpunkt der Linie y = -4x mit der Diamantgrenze.

Überprüfen und verifizieren

Ich prüfe, ob der Punkt im Quadrat III liegt, indem ich sicherstelle, dass x ≤ 0 ist und die Bedingungen x ≤ y ≤ -4x erfüllt sind.

Analyse des Regionen

Ich untersuche das Flächenproblem und denke über verschiedene Ansätze wie Integrationen oder Symmetrie nach. Jetzt analysiere ich die Bereiche innerhalb des Rautenbereichs und die Ungleichungen, die davon betroffen sind.

Analyzing Quadranten

Ich schaue mir Quadrant IV und III an. Dabei geht es um x ≥ 0, y ≤ 0 sowie y ≤ (-2x)/3 bzw. x ≤ y. Hm, das setzt voraus, dass wir den Schnittpunkt von y = (-2x)/3 und x ≤ y finden.

Lösen der Gleichungen

Ich löse die Gleichungen y = (-2x)/3 und x + 2(-y) = 4, um den Schnittpunkt zu finden.

Lösungen finden

Überprüfen der Intervallgrenzen

Ich schaue mir den Bereich von x = 0 bis x = 12/7 an. Interessanterweise decken sich die oberen und unteren y-Grenzen bei y = -8/7.

Schreibfehler entdeckt

Überprüfen der Schnittpunkte

Ich schaue mir an, ob der Ausdruck y = -4x den Diamanten im dritten Quadranten kreuzt. Da x = 4/7 positiv ist, was nicht zu x ≤ 0 passt, sieht es so aus, als ob es keinen Schnittpunkt gibt.

Überlappende Bedingungen prüfen

Ich untersuche die Intervalle für x und y im Quadranten II und finde die Gleichung für die Dreiecksspitze. Es scheint, dass der Flächeninhalt des Quadranten II doppelt so groß ist wie der vierten Quadrant.

Überprüfen der Linienverhältnisse

Ich schaue mir die Liniengleichungen an, um herauszufinden, welche Linie über die andere steht, indem ich betrachte, ob y gleich oder kleiner als (-2x)/3 oder (x - 4)/2 ist.

Berechnung von Flächen

Ich finde die Flächen A1 und A2 als Integrale auf den Grenzen y = -2 und y = 0 sowie x = -4/9 und x = 0 heraus.

Berechnung des Integrals

Ich schaue mir das Integrand an, indem ich x-Werte von -4/9 bis 0 einsetze. Leider ist die Funktion nicht gegeben, daher bleibt das Ergebnis 0.

Bestimmung des Integrals

Ich berechne das Integral über den Bereich, indem ich die obere und untere Grenze für y verwende, wie gegeben durch die Liniengleichungen x ≤ 0 und -4x sowie -x + 2y = 4.

Berechnung des Gesamtbereichs

Ich habe den Gesamtbereich eines symmetrischen Figures berechnet, indem ich die Flächen aus den Quadranten II und IV kombinierte. Doch womöglich wird nur die Hälfte des Gesamtbereichs abgebildet.

Чтобы найти площадь фигуры, заданной системой неравенств:

1. $|x - y| \geq 3x + 2y$
2. $|x| + |2y| \leq 4$

разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Анализ второго неравенства

Начнем с неравенства:

Упростим его:

Это неравенство описывает ромб на плоскости с вершинами в точках $(\pm4, 0)$ и $(0, \pm2)$.

Шаг 2: Анализ первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство:

Разделим его на два случая в зависимости от знака выражения под модулем.

Случай 1: $x - y \geq 0$

Тогда $|x - y| = x - y$, и неравенство становится:

Случай 2: $x - y < 0$

Тогда $|x - y| = -(x - y) = y - x$, и неравенство становится:

Шаг 3: Определение областей на плоскости

Разделим плоскость на области в зависимости от знаков $x$ и $y$.

Область I (x ≥ y):

• $x \geq y$
• Применяем неравенство (1): $2x + 3y \leq 0$

Область II (x < y):

• $x < y$
• Применяем неравенство (2): $4x + y \leq 0$

Шаг 4: Нахождение точек пересечения

Для области I:

Граница ромба в четвертой четверти задается уравнением:

Найдём точку пересечения прямых $y = \frac{-2x}{3}$ (из неравенства (1) при равенстве) и $x - 2y = 4$:

Соответственно, $y = -\frac{2x}{3} = -\frac{24}{21} = -\frac{8}{7}$.

Для области II:

Граница ромба во второй четверти задается уравнением:

Найдём точку пересечения прямых $y = -4x$ и $-x + 2y = 4$:

Соответственно, $y = -4x = -4\left(-\frac{4}{9}\right) = \frac{16}{9}$.

Шаг 5: Вычисление площади в четвертой четверти (A_1)

Пределы интегрирования по $x$ от 0 до $\frac{12}{7}$. Выражение для $y$ находится между двумя прямыми:

• Нижняя граница: $y = \frac{x - 4}{2}$ (граница ромба).
• Верхняя граница: $y = -\frac{2x}{3}$ (из неравенства (1)).

Интеграл для площади:

Вычисляем интеграл:

После интегрирования получаем:

Вычислив значения, получаем:

Шаг 6: Вычисление площади во второй четверти (A_2)

Пределы интегрирования по $x$ от $-\frac{4}{9}$ до 0. Выражение для $y$ находится между двумя прямыми:

• Нижняя граница: $y = \frac{x + 4}{2}$ (граница ромба).
• Верхняя граница: $y = -4x$ (из неравенства (2)).

Интеграл для площади:

Вычисляем интеграл:

После интегрирования получаем:

Вычислив значения, получаем:

Шаг 7: Общая площадь

Так как фигура симметрична относительно оси $x$, общая площадь равна удвоенной сумме найденных площадей:

Переведем в десятичную дробь:

Округлим до сотых:

Ответ: 4,32