切超平面方程求解
Created on: September 28, 2024
Answered using OpenAI 01 Preview by OpenAI01
Question
Find the equation of the tangent "hyperplane" to f(x,y,z) at the point (a,b,c).
f(x,y,z) = xyz + x² (a,b,c) = (2,0,-3)
中文解答
Thought
求解切平面方程
首先,思考将标量函数 f(x,y,z) 在点 (a,b,c) 处的切平面方程,还有 ∇f(a,b,c) 是与该点切平面垂直的。
为函数求平面
我正在考虑如何找到函数 f(x,y,z)=xyz+x2 在点 (a,b,c,f(a,b,c)) 的切平面。
确定切平面
我在确定函数 f(x,y,z) = xyz + x^2 在点 (a,b,c) 处的切平面方程,采用了梯度和偏导数。
解析方程
我正在计算偏导数,首先是 f(a,b,c) 在 (2,0,-3) 的值为 4。接着,计算 f_x, f_y 和 f_z 的值。
计算偏导并确定
我计算了f_x、f_y和f_z在点(2,0,-3)处的值。然后,我用这些值来建立切平面的方程,结果得到了w = 4x - 6y - 4。这个平面不包含z。
解释函数依赖
我在考虑偏导数为零的情况时,得出w仅依赖于x和y的线性近似为4x - 6y - 4。
Answer
解答:
我们需要求函数 f(x,y,z)=xyz+x2 在点 (2,0,−3) 处的切超平面的方程。步骤如下:
1. 计算函数在该点的函数值:
f(2,0,−3)=(2)(0)(−3)+(2)2=0+4=42. 计算函数的偏导数:
- 对 x 求偏导: fx=∂x∂f=yz+2x
- 对 y 求偏导: fy=∂y∂f=xz
- 对 z 求偏导: fz=∂z∂f=xy
3. 在点 (2,0,−3) 处计算偏导数的值:
- fx(2,0,−3)=(0)(−3)+2×2=0+4=4
- fy(2,0,−3)=2×(−3)=−6
- fz(2,0,−3)=2×0=0
4. 写出切超平面的方程(线性近似):
w=f(2,0,−3)+fx(2,0,−3)(x−2)+fy(2,0,−3)(y−0)+fz(2,0,−3)(z+3)5. 简化方程:
w=4+4(x−2)−6(y−0)+0(z+3)=4+4x−8−6y=4x−6y−4因此,所求的切超平面的方程为:
w=4x−6y−4