城市征服策略算法

确定胜利城市

我正在思考如何评估从各个城市出发是否可以在给定时间内征服所有城市。

定义挑战

我们正在探讨针对每个起始城市 s，找到一个征服序列，以确保城市 i 在时间 a_i 之前被征服的问题。这让我想到，我们需要设计一个时间复杂度为 O(n log n) 或 O(n) 的算法。

重新审视问题

我们分析了一个包含城市征服时间的数组a[1..n]。确定从每个城市s开始，是否能按要求征服所有城市。

解码城市地图

从时间1开始征服城市s，从时间2到n可以征服任何相邻城市。需要在a_i时间之前征服每个城市i。目标是找出所有可能的起始城市s。

扩展疆界

我正在考虑可以从当前已占领城市的相邻城市开始。每到时间点t，我能够占领t个城市，形成一个持续不断的区间[L_t, R_t]，长度为t。

观测情况：

• 领土总是连通的，每次扩展都是增加一个邻近城市。

• 每时每刻有两个选择：向左扩展或向右扩展。

• 在 t ≥ 2 时，我们有两个选择：征服从领土左侧或右侧的城市。到达时间 t 时，我们的领土是长度为 t 的区间。我们要决定，从城市 s 在时间 1 开始，扩展步骤的方向（左或右），以确保从 1 到 n 的每个城市 i 最晚在时间 a_i 之前都进入我们的领土。

确定扩展计划

我正在探索选择各个起始城市s，并制定一个扩展计划，确保所有城市在各自的时间限制内被涵盖。我的目标是找到一个规划，以便在每个时间节点上，有一个扩展计划可以涵盖所有城市。

制定策略

决定扩展方向时，了解从城市s开始，达到城市i的最小步数需要多少。

确定时间限制

我正在计算从起始城市到城市i的最早和最晚到了时间，确保跨越的城市数量不超过给定时间a_i。

布局和行动

在每个时间点，我们的领土是一个区间[L_t, R_t]，扩展方向为左或右。需要达到的城市由其包括时间a_i决定。

扩展策略探索

我正在思考一个贪婪扩展模型，从城市s出发，每次选择向左或向右扩展，以便尽快包括所有需要征服的城市。

设计扩展计划

我正在设想如何扩展时间区间，以确保在每个截止日期之前都包括所有必需的城市。这涉及到左扩或右扩的决策，具体取决于时间段的长度和位置。

分析城市需求

每个城市都要在特定时间内纳入，是重点关注的需求。城市可以从最小时间到最大时间到达，哪里最迟就哪里找。

考虑城市的时间限制

我正在思考如何平衡城市时间限制和扩展计划的安排，以确保达到城市的时间需求。正在研究选择最紧急的扩展方向。

选择城市

我选择向邻近的城市扩展，每次选择最早截止日期的城市。用两个指针代表左右两侧的城市，比较各自截止日期，从最早截止的那一侧扩展。

总结：

考察城市扩展计划的可行性和截止时间。Merkel表示无法做出判断，因为时间窗口可能限制了延展的可能性。

分析时间限制

我们正在思考如何根据城市 i 的时间约束 t_i，以及从起点 s 出发的距离，使每个城市 i 能够在某个时间 t_i 之前到达。

定义城市扩展

我正在定义起始城市s的左扩展次数l和右扩展次数r，使得到达每个城市i的时间不晚于a_i。

建模定位

考虑将左侧和右侧扩展看作一系列时间序列，低位城市的时间序列为T_left，高位城市为T_right。我们的初始位置在城市s的时间1。

探讨递归问题

让我思考，每一步都在衡量左扩展或右扩展，以确定达到城市的最优时间点。

规划扩展
考虑到需要达到左右城市的扩展，最迟时间和最早时间是关键因素，挑战是规划左右扩展以确保所有城市在截止时间内到达。

安排扩展计划

需要为每个城市安排扩展时间，确保左侧和右侧扩展时间符合规定的限制。

规划进展时间

我在思考如何安排左侧城市的扩展时间，确保到达每个城市的时间不超过指定的时间。这似乎是在规划时间安排的关键部分。

规划规划

我们正计划在城市i达到时间≤a_i的条件下，安排左右扩展时间的调度。

安排扩展时间

我在计划左侧和右侧扩展的时间，不让它们冲突。目标是确保每个城市的扩展时间都不晚于其限制时间。

计划变动

我正在安排左扩和右扩的时间，确保它们在同一时间线上不会冲突。详细列出左扩所需的时间点，似乎很有条理。

安排城市扩展

我在计划城市左扩展和右扩展的时间点，尝试尽早安排左扩展和右扩展，看看时间冲突的情况。

安排周边扩展

我在考虑将城市的左扩展安排在最早可以达到的时间段，并确保每个城市的扩展时间不与其他冲突。

调度扩展时间

我正在安排左侧和右侧的扩展时间，并确保冲突最小化。总扩展次数小于总时间跨度。

考虑扩展计划

我正在思考左侧和右侧扩展的时间安排，创建两个列表，分别记录左侧和右侧的最新扩展时间，以确保时间安排的合理性。

调度扩展时间

安排左侧和右侧扩展的时间槽，确保时间不冲突且满足调整时间限制。左侧扩展在第2到第s-1城市之间，右侧扩展在第s+1到第n城市之间。

分派任务

将左扩展和右扩展安排在2到n的时间槽中，确保每个任务都在截止前完成，且不同时进行。

任务安排的时间规划

这是一个调度问题，涉及 n - 1 个任务，每个任务都有一个截止日期。任务需要在其截止日期前完成，且不能同时安排多个任务。

排序和安排

我正在了解一种检查可行性的算法。首先，对工作按期限进行排序。然后，从最早的时间槽开始，安排一个截止日期未过的工作。

制定计划

创建一个列表，包含所有工作和截止时间。然后使用Earliest Deadline First（EDF）调度算法，按截止时间排序。在每个时间槽中，选择截止时间最早的未调度工作。

调度算法的安排

安排时间

我正在为每份工作安排最晚的时间槽。如果时间槽被占用，就向前调整，直到找到一个空闲槽位。

排序调度作业

我正在将作业按截止时间升序排序，然后尝试将每个作业安排在时间 t = min(d_i, n)。如果时间槽已满，从 t 到 2 逐步下降，直到找到一个空闲的时间槽。

设定时间安排

我在为每个工作创建时间槽数组时，确保初始状态和遍历令牌。这样做可以顺利分配到插槽中，解决冲突问题。

安排任务时间

逐步安排每个任务，确保在截止日期之前完成。如果无法安排执行，将返回“不可能”。 אני正在安排任务，以确保每个任务都在其截止日期之前完成。如果有任务无法安排，将返回“不可能”。

安排和优化

通过路径压缩，找出所有可用的时间，然后排定任务，确保每个任务都在最后时间前完成，避免时间冲突。

排定期限

我正在安排从起点城市s出发的所有任务，挑选期限较短的任务顺序，并使用DSU操作来分配时间。最后，如果所有任务都按时完成，就说明从起点城市s出发可以成功。

寻找起始城市

我正在探索每个起始城市s的调度情况，思考如何优化时间复杂度以确保能够安排所有工作。

时间计算的前瞻性

考虑一个固定的起始城市s，每个城市i的到达时间t_i和a_i的关系，确保能在时间a_i之前到达城市i。

寻找起始城市

我要看看所有城市点 s 满足每个 i 时 |i - s| + 1 ≤ a_i 的条件。这样，找到合适的起始城市。

确定条件和筛选

我正在思考通过计算范围来找出满足所有城市条件的出发城市。这样可以加速计算。

定义可能的位置

我在列出每个城市的起始位置范围，目标是找到所有城市范围的交集。

计算区间交集

我们可以计算可能的起始位置s，如下所示：

• 对于所有s ∈ [L, R] ∩ [1, n]，我们可以从s赢得比赛。

例如，对于n = 5和a_i = [2, 3, 2, 4, 3]:

• 对于i = 1：

  • L_1 = 1 - (2 - 1) = 0

  • R_1 = 1 + (2 - 1) = 2

• 对于i = 2：

  • L_2 = 2 - (3 - 1) = 0

  • R_2 = 2 + (3 - 1) = 4

• 对于i = 3：

  • L_3 = 3 - (2 - 1) = 2

  • R_3 = 3 + (2 - 1) = 4

• 对于i = 4：

  • L_4 = 4 - (4 - 1) = 1

  • R_4 = 4 + (4 - 1) = 7

• 对于i = 5：

  • L_5 = 5 - (3 - 1) = 3

  • R_5 = 5 + (3 - 1) = 7

现在，我们计算L = max(L_i) = max(0, 0, 2, 1, 3) = 3

计算R = min(R_i) = min(2, 4, 4, 7, 7) = 2

由于L > R，因此没有s满足约束条件。

重新计算范围

我在仔细核算 L 和 R 的值，确保没有计算错误。通过逐步求解各个点的 L 和 R 值，确保所有起始位置都被考虑。

计算区间边界

我开始计算每个区间的 L_i 和 R_i 的最大值和最小值。这些边界值帮助确定是否存在交集，并且反映了给定区间的交集情况。

To solve this problem efficiently, we can reduce it to finding the intersection of intervals for possible starting cities. Here's how we can do it:

1. For each city $i$:

   • Calculate the earliest possible starting city $L_i$ and the latest possible starting city $R_i$ that can reach city $i$ before its deadline $a_i$.
   • Since you need to reach city $i$ no later than time $a_i$ and the minimal time to reach city $i$ from starting city $s$ is $|i - s| + 1$, we have: $$|i - s| + 1 \leq a_i$$ Solving for $s$: $$s \in [i - (a_i - 1), i + (a_i - 1)]$$ So, $L_i = i - (a_i - 1)$ and $R_i = i + (a_i - 1)$.

2. Find the overall valid interval for starting cities:

   • The possible starting cities $s$ must be in the intersection of all intervals $[L_i, R_i]$.
   • Compute: $$L = \max_{i} (L_i)$$ $$R = \min_{i} (R_i)$$
   • The valid starting cities are then $s \in [L, R] \cap [1, n]$.

3. Calculate the number of valid starting cities:

   • If $L \leq R$, the number of valid starting cities is: $$\text{Answer} = \max(0, \min(R, n) - \max(L, 1) + 1)$$
   • Else, the answer is 0.

Below is the C++ code implementing this algorithm:

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1); // 1-indexed
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    
    int L = 1, R = n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int Li = i - (a[i] - 1);
        int Ri = i + (a[i] - 1);
        L = max(L, Li);
        R = min(R, Ri);
    }
    
    int ans = 0;
    if (L <= R) {
        ans = R - L + 1;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

Explanation:

• Reading Input:

  • We read $n$ and the deadlines $a_i$ for each city.

• Calculating Intervals:

  • For each city $i$, we calculate $L_i$ and $R_i$ and update $L$ and $R$.

• Calculating the Answer:

  • We check if $L \leq R$. If so, the number of valid starting cities is $R - L + 1$.
  • Otherwise, the answer is 0.

• Output:

  • We output the number of starting cities from which we can win the game.

This solution runs in $O(n)$ time, as required.