要计算定积分 ∫0πsin2(θ)dθ,可以按照以下步骤进行:
步骤 1:使用二倍角公式简化被积函数
首先,利用二倍角公式将 sin2(θ) 转化为更易于积分的形式。二倍角公式为:
sin2(θ)=21−cos(2θ)
因此,原积分可以改写为:
∫0πsin2(θ)dθ=∫0π21−cos(2θ)dθ=21∫0π(1−cos(2θ))dθ
步骤 2:拆分积分并分别计算
将积分拆分成两个部分:
21∫0π1dθ−21∫0πcos(2θ)dθ
分别计算这两个积分。
- 计算 ∫0π1dθ:
∫0π1dθ=θ0π=π−0=π
- 计算 ∫0πcos(2θ)dθ:
∫0πcos(2θ)dθ=21sin(2θ)0π=21(sin(2π)−sin(0))=21(0−0)=0
步骤 3:综合结果
将两个部分的结果代入原表达式:
21×π−21×0=2π
结论
因此,定积分的值为:
∫0πsin2(θ)dθ=2π