积分计算与结果

要计算双重积分：

$$\int_{0}^{\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\phi) \, d\phi$$

我们可以分步进行计算。

1. 计算内层积分

先计算关于 $\phi$ 的积分：

$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(\phi) \, d\phi$$

这个积分的结果是：

$$\left[ \sin(\phi) \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 - (-1) = 2$$

2. 计算外层积分

接下来计算关于 $\theta$ 的积分：

$$\int_{0}^{\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta$$

利用三角函数的积分公式：

$$\int \sin^2(\theta) \, d\theta = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} + C$$

所以：

$$\int_{0}^{\pi} \sin^2(\theta) \, d\theta = \left[ \frac{\theta}{2} - \frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{0}^{\pi} = \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) - \left( 0 - 0 \right) = \frac{\pi}{2}$$

3. 综合结果

将两部分结果相乘：

$$\frac{\pi}{2} \times 2 = \pi$$

因此，原积分的值为 $\pi$。

答案： 积分的值是 π。