积分计算与结果

计算乘积积分

首先，我计算了第一个定积分，将其转化为更易处理的表达式，得出π/2。接着，计算了第二个定积分，结果是-1。最后，将两个积分相乘，得到-π/2的积分值。

分析积分表达

考虑两个积分的乘积，分别是 θ 从 0 到 π, φ 从 π/2 到 π。

我们需要计算以下积分：

$$\left( \int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta \right) \times \left( \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \phi \, d\phi \right)$$

第一个积分：$\int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$

使用三角恒等式 $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$，我们可以将积分化简：

$$\int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \left[ \int_{0}^{\pi} 1 \, d\theta - \int_{0}^{\pi} \cos 2\theta \, d\theta \right]$$

计算各部分：

$$\int_{0}^{\pi} 1 \, d\theta = \pi$$ $$\int_{0}^{\pi} \cos 2\theta \, d\theta = \left. \frac{\sin 2\theta}{2} \right|_{0}^{\pi} = 0$$

因此，

$$\int_{0}^{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \times \pi = \frac{\pi}{2}$$

第二个积分：$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \phi \, d\phi$

直接积分：

$$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos \phi \, d\phi = \left. \sin \phi \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin \pi - \sin \frac{\pi}{2} = 0 - 1 = -1$$

综合结果

将两个积分结果相乘：

$$\frac{\pi}{2} \times (-1) = -\frac{\pi}{2}$$

最终答案：

$$-\frac{\pi}{2}$$