Разложение Маклорена 1/ln

Раскрываю закономерность

Интересно, как ln(cosh(x)) раскрывается до o(x^2). Сначала нахожу элементарные термины, а затем перемножаю находку на x^2/2.

Используя приближение для ln(cosh(x)), нахожу его обратное выражение.

Ищу новые подходы

Применяю разложения в ряд и факторизацию, чтобы упростить выражение S(x). Это приводит меня к лучшему пониманию формулы для S(x).

Развёртывание и упрощение

Окей, давайте посмотрим: я использую разложение в ряд Тейлора для ln(cosh(x)), выношу общие множители и упрощаю, чтобы получить приближенное выражение, действуя до x^2.

Уточняю приближение

Я рассматриваю приближение 1 / ln(cosh(x)) с включением членов до x^2. Включаю второй порядок и старшие корректировки, чтобы получить точное приближение.

Чтобы разложить функцию $\frac{1}{\ln(\cosh x)}$ по формуле Маклорена до членов порядка $o(x^3)$, выполним следующие шаги.

1. Найдем разложение $\ln(\cosh x)$ до необходимого порядка.

Сначала запишем разложение функции $\cosh x$:

Теперь используем разложение натурального логарифма:

Применяем это к $y = \frac{x^2}{2}$:

2. Найдем разложение обратной функции.

Нам нужно разложить $\frac{1}{\ln(\cosh x)}$:

Вынесем $\frac{x^2}{2}$ за скобки в знаменателе:

Разворачивая ряд до членов порядка $o(x^3)$:

3. Запишем окончательное разложение.

Таким образом, разложение функции до членов порядка $o(x^3)$ будет:

Ответ: